Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätkriterium

T-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${\mathcal {T}}_{e}^{k}$ -regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$ , wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ als Stetigkeitssequenz der Addition und positive Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

(T1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
(T2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ .

Stetigkeitssequenz der Addition

Die Stetigkeitssequenz der Addition ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ erfüllt die Bedingung.

\left\|x+y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}

Damit kann man für die Regularitätsbeweise folgenden Abschätzung für Differenzen durchführen:

\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x-y\right\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}

Angewendet auf das obige Regulariätskriterium erhält man:

\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}-\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}\leq \left\|z\cdot x-y\right\|_{(\alpha ,k+1)}

Aufgabe für Studierende

Betrachten Sie bei der ${\mathcal {PC}}$ -Regulariät die Abschätzung der Quotientenhalbnormen nach unten.

Welche Analogie und Unterschiede gibt es zwischen der Abschätzung bei Quasihalbnormen und Stetigkeitskonstanten der Addition und einer Stetigkeitssequenz der Addition bei beliebigen topologischen Algebren.

Siehe auch

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium
siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.