Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen

Einführung

Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren, so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.

Addition

Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ein $\|\cdot \|_{\beta }$ mit

\|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }+\|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A

Zu diesem $\|\cdot \|_{\beta }$ kann man wieder $\|\cdot \|_{\gamma }$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

\|x+y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }+\|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Multiplikation

Analog kann man Stetigkeitssequenzen der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ein $\|\cdot \|_{\beta }$ mit

\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\cdot \|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A

Zu diesem $\|\cdot \|_{\beta }$ kann man wieder $\|\cdot \|_{\gamma }$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

\|x\cdot y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Addition und Multiplikation

In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.

Unitale Algebren und Gaugefunktionale

In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation $e\in A$ voraussetzen kann, dass $\|e\|_{\alpha }>0$ gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.

Definition - partielle Ordnung - Gaugefunktionale

Sei ${\textstyle \left(A,\|\cdot \|_{I}\right)\in {\mathcal {T}}}$ , dann gilt mit ${\textstyle \alpha ,\beta \in I}$ :

\|\cdot \|_{\alpha }\leq \|\cdot \|_{\beta }:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle x\in A}:\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }

Analog definiert man den Fall ${\textstyle \geq ,<,>}$ und ${\textstyle =}$ .

Partielle Ordnung auf der Menge der p-Gaugefunktionale

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit einem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von $p$ -Gaugefunktionalen. Auf der Indexmenge ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ wird nun die folgende partielle Ordnung definiert:

\alpha \leq \beta :\Longleftrightarrow \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq \left\|\cdot \right\|_{\beta }:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle x\in A}\,:\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }

Unital positive Gaugefunktionale

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) gibt es eine Nullumgebungsbasis $\{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ aus kreisförmigen Mengen $U_{\alpha }$ . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale. Um für die Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ohne Einschränkung voraussetzen zu können, dass $\|e\|_{\alpha }>0$ für das Einselement der Multiplikation $e\in A$ gilt, müssen wir den Schnitt von kreisförmigen Nullumgebungen betrachten.

Definition: Unital positives Gaugefunktionalsystem

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit einem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von $p$ -Gaugefunktionalen. ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ heißt "unital positiv", wenn für das Einselement $e_{A}\in A$ der Multiplikation die folgende Eigenschaft gilt:

\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\,:\,\|e_{A}\|_{\alpha }>0

Lemma zu unitalen positiven Gaugefunktionalsystemen

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine Hausdorff'sche topologische Algebra, dann gibt es ein unital positves Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ , das die Topologie ${\mathcal {T}}$ erzeugt.

Beweis

Wenn eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente $0_{A},e_{A}\in A$ mit $0_{A}\not =e$ zwei Umgebungen $U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ und $U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(e_{A})$ existieren mit $U_{0}\cap U_{1}=\emptyset$ .

Schnitt von kreisförmigen Mengen

Da ${\mathcal {T}}$ eine Hausdorff-Topologie auf $A$ ist, gibt es zu $U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis $\{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ aus kreisförmigen Mengen ein $U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ finden, für das $U_{\beta }\subseteq U_{0}$ gilt. Für $U_{\beta }$ ebenfalls $U_{\beta }\cap U_{1}=\emptyset$ . Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen $U_{\alpha },U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen).

Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen

Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis $\{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ über ${\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gilt:

${\widehat {U}}_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$ und damit wäre die von $\{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ erzeugte Topologie feiner als die von $\{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ und
umgekehrt ist ${\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ eine Nullumgebung und dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ mit $U_{\gamma }\subseteq {\widehat {U}}_{\alpha }$ , weil $\{U_{\gamma }\,:\,\gamma \in {\mathcal {A}}\}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\mathcal {T}}$ ist.

Unital Positivität

Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale $\|\cdot \|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}$ . Da die ${\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale. Ferner gilt für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ die Bedingung $e\notin {\widehat {U}}_{\alpha }$ damit gilt sogar $\|e_{A}\|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}(e_{A})\geq 1>0$ . Damit folgt die Behauptung $\Box$

Definition: Stetigkeitssequenz der Addition

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ . Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

(Isotonie) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
(Stetigkeit) ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{n}\leq K_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$ , ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle K_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz der Addition oder kurz ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$ -Sequenz der Addition und ${\textstyle K_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Addition.

Die ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$ -Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle K_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Bemerkung: Stetigkeitskonstanten der Addition

Die Stetigkeitskonstanten $S_{n}$ der Addition entstehen z.B. dann, wenn die Gaugefunktionale Quasihalbnormen sind (siehe auch Korrespondenzsatz p-Halbnormen). Bei lokalkonvexen Räumen oder pseudokonvexen Räumen kann man die Gaugefunktionale in einer ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$ -Sequenz gleich wählen (also ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}=\left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ . In lokalkonvexen Räumen ist dann auch jede ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$ -Sequenz auch normalisiert.

Definition: Stetigkeitssequenz der Multiplikation

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ . Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

(Isotonie) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
(Stetigkeit) ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$ , ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\odot }}$ -Sequenz der Multiplikation und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation.

Die ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\odot }}$ -Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Bemerkung: Stetigkeitssequenzen und Polynomalgebren

Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen $\alpha \in {\mathcal {A}}$ das erste ${\mathcal {K}}$ -Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{0}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$ definiert, so n ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ heißt ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$ -Sequenz zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ . Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$ -Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra ${\textstyle {\overline {A[t]}}}$ als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in $A$ anwenden.

Bemerkung: Stetigkeit und Stetigkeitsequenzen

${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$ -Sequenzen können wegen der Stetigkeit der Multiplikation zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und für jede topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ mit ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$ -Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf der Algebra ${\textstyle A}$ stetig.

Bemerkung: Normalisierte Stetigkeitssequenzen

Im allgemeinen toplogischen Räumen wird man nur normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$ -Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ gewählte ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz kann durch eine normalisierte ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz ersetzen werden. Ist nämlich ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \lambda \geq 1}$ , so ist auch ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}:=\lambda \cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ ein ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Funktional, das für die Topologie ${\mathcal {T}}$ keine anderen offenen Mengen erzeugen kann als $\left\|\cdot \right\|_{\alpha }$ . Damit verändert das Hinzufügen des Gaugefunktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}}$ zum Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Topologie ${\mathcal {T}}$ nicht. Die Stetigkeitskonstanten ${\textstyle S_{n}}$ werden erst später bei der Regularitätsdingung von Bedeutung sein, wenn zusätzliche algebraische Eigenschaften in den Stetigkeitssequenzen enthalten sind.

Definition: Stetigkeitssequenz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ . Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ mit für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$ ,
${\textstyle \left\|x+y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left(\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}\right)}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$ ,

${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz kurz ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Addition und Multiplikation.

Definition: Sequenznormalisierung

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ . Eine ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ heißt "sequenznormalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Definition: Unitale Stetigkeitsequenz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {{\mathcal {K}}_{e}}}$ ist eine unitale topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ mit Einselement $e\in A$ der Multiplikation. Eine ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ heißt unitale ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz, falls ${\textstyle \|e\|_{n}\geq 1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle \|e\|_{0}=1}$ gilt.

Existenzsatz über Stetigkeitssequenzen

In einer topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ existiert zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine unital positive ${\mathcal {K}}$ -Stetigkeitsequenz in einem ggf. erweiterten Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}$

{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}

Beweis

In der topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ sei $\alpha \in {\mathcal {A}}$ beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für $n=0$ :

\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.

p-Homogenität - pseudokonve Algebren

Für pseudokonvexe Algebren ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}}$ sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ ein System von Quasihalbnormen. Falls $A$ mit einem System von $p$ -homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der $p$ -Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen, das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen).

Anfang der Stetigkeitsequenz

Als Anfang der Stetigkeitsequenz wählt man jedem Index $\alpha \in {\mathcal {A}}$ zunächst den Anfang der Stetigkeitssequenz.

{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}}

Die Definition des ersten Gaugefunktionals $\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}$ hängt von $\left\|\cdot \right\|_{\alpha }$ ab und wird unital positiv gewählt.

Festlegung des ersten Gaugefunktionals 1

Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung die Punkte trennt, gibt es ein $\beta _{e}\in {\mathcal {A}}$ mit $\left\|e\right\|_{\beta _{e}}>0$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ . Da Schnittmengen von offenen Mengen wieder offen sind, kann man zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ das erste Gaugefunktional $\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}$ wie folgt definieren:

\left\|x\right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\max\{\left\|e\right\|_{\alpha },\left\|e\right\|_{\beta _{e}}\}}}\cdot \max\{\left\|x\right\|_{\alpha },\left\|x\right\|_{\beta _{e}}\}

.

Festlegung des ersten Gaugefunktionals 2

Ferner gilt für das neutrale Element $e\in A$ die Normiertheit auf 1, denn es gilt:

\left\|e\right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\max\{\left\|e\right\|_{\alpha },\left\|e\right\|_{\beta _{e}}\}}}\cdot \max\{\left\|e\right\|_{\alpha },\left\|e\right\|_{\beta _{e}}\}=1

.

Damit erhält man auch durch die induktive Definition im weiteren Verlauf des Beweises $\left\|e\right\|_{n}^{(\alpha )}\geq 1$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ .

Konstruktion von Gaugefunktionalfolgen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}}$ . Wir definieren nun zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ . Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.

Stetigkeit der Addition 1

Sei nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Addition in der topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein $\beta _{0}\in {\mathcal {A}}$ , für das gilt:

\forall _{\displaystyle x,y\in A}\,:\,\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\right\|_{\beta _{0}}\cdot \left\|y\right\|_{\beta _{0}}

Stetigkeit der Addition 2

Ferner sei ohne Einschränkung $\|\cdot \|_{\beta _{1}}$ wie folgt definiert:

\|x\|_{\beta _{1}}:=\max\{\|x\|_{\beta _{0}},\|x\|_{n}^{(\alpha )}\}

Damit gilt unmittelbar $\|\cdot \|_{n}^{(\alpha )}\leq \|\cdot \|_{\beta }$ gewählt. Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man $U_{\beta }$ durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung $U_{n}^{(\alpha )}\cap U_{\beta _{0}}$ mit $U_{\beta }:=B_{1}^{\beta _{0}}(0_{A})$ und $U_{n}^{(\alpha )}:=\{x\in A\,:\,\|x\|_{n}^{(\alpha )}<1\}$ .

Stetigkeit der Multiplikation 1

Sei nun ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}$ und das zugehörige Gaugefunktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\beta _{1}}}$ bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation zu $\beta _{1}$ in der topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ , für das gilt:

\forall _{\displaystyle x,y\in A}\,:\,\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\cdot y\right\|_{\beta _{1}}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }\leq \left\|x\right\|_{\beta _{2}}\cdot \left\|y\right\|_{\beta _{2}}

mit $\left\|x\right\|_{\beta _{2}}:=\max\{\left\|x\right\|_{\beta },\left\|x\right\|_{\beta _{1}}\}$ . Damit gilt u.a. auch $\left\|x\right\|_{\beta _{1}}\leq \left\|x\right\|_{\beta _{2}}$ für alle $x\in A$ .

Stetigkeit der Multiplikation 2

Sei nun ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\beta _{2}}}$ kann man wieder mit der Stetigkeit der Multiplikation ein weiteres $\beta _{3}\in {\mathcal {A}}$ in der topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ , für das gilt:

\forall _{\displaystyle x,y\in A}\,:\,\left\|x\cdot y\right\|_{\beta _{2}}\leq \left\|x\right\|_{\beta _{3}}\cdot \left\|y\right\|_{\beta _{3}}

Trennungseigenschaft - neutrale Element der Multiplkation

Wenn die Topologie die Punkte trennt, gibt ein $\beta _{e}\in {\mathcal {A}}$ mit $\|e\|_{\beta _{e}}$ . Mit $U_{\gamma }:=B_{1}^{\gamma }(0_{A})$ und $U_{n}^{(\alpha )}:=\{x\in A\,:\,\|x\|_{n}^{(\alpha )}<1\}$ definiert man:

U_{\gamma }:=U_{n}^{(\alpha )}\cap B_{1}^{\beta _{e}}\!(0_{A})\cap B_{1}^{\beta _{1}}\!(0_{A})\cap B_{1}^{\beta _{2}}\!(0_{A})\cap B_{1}^{\beta _{3}}\!(0_{A})

Das folgende Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\gamma }$ erzeugt die Umgebung $U_{\gamma }$ :

\|x\|_{\gamma }:=\max\{\|x\|_{n}^{(\alpha )},\|x\|_{\beta _{e}},\|x\|_{\beta _{1}},\|x\|_{\beta _{2}},\|x\|_{\beta _{3}}\}

Supremumsgaugefunktional

Sei nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ bereits induktiv definiert. Wir betrachten nun die Teilmenge ${\textstyle e\in T_{n}\subset A}$ mit $T_{n}:=\{s\in A\,:\,\left\|s\right\|_{\gamma }>0\}.$ Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form

\left\|x\right\|_{\gamma }^{(sup)}:=\left\|e_{A}\right\|_{\gamma }\cdot \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ für alle }}x\in A

Anwendung auf das Einselement 1

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man:

{\begin{array}{rcl}\left\|e\right\|_{\gamma }^{(sup)}&=&\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\cdot e\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\underbrace {{\frac {1}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\cdot \left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}} _{\leq 1}\leq \left\|e\right\|_{\gamma }\end{array}}

Ferner wurde $\left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|s\right\|_{\gamma }$ für die " $\leq$ "-Abschätzung verwendet, da damit $\textstyle {\frac {\left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\leq 1$ gilt.

Anwendung auf das Einselement 2

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man:

{\begin{array}{rcl}\left\|e\right\|_{\gamma }^{(sup)}&=&\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\cdot e\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \left\|{\frac {e}{\left\|e\right\|_{\gamma }}}\cdot e\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \left\|{\frac {e}{\left\|e\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot {\frac {\left\|e\right\|_{n}^{(\alpha )}}{\left\|e\right\|_{\gamma }}}=\left\|e\right\|_{n}^{(\alpha )}>0\end{array}}

Wegen $\|e\|_{\gamma }\geq \|e\|_{\beta _{e}}>0$ folgt $e\in T_{n}$ und man erhält daher kann man das Supremum $s:=e$ nach unten abschätzen.

Abschätzung Gaugefunktionale 1

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man analog für beliebige $x\in A$ :

{\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\gamma }^{(sup)}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \left\|{\frac {e}{\left\|e\right\|_{\gamma }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ weil }}e\in T_{n}\\&=&\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \left\|{\frac {x}{\left\|e\right\|_{\gamma }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}

Abschätzung Gaugefunktionale 2

Mit $\|x\|_{\gamma }:=\max\{\|x\|_{n}^{(\alpha )},\|x\|_{\beta _{e}},\|x\|_{\beta _{1}},\|x\|_{\beta _{2}}\}$ gilt insbesondere $\|x\|_{\gamma }\geq \|x\|_{\beta _{2}}$ und man erhält die Ungleichung für alle $x\in A$ :

{\frac {1}{\|x\|_{\gamma }}}\leq {\frac {1}{\|x\|_{\beta _{2}}}}

Abschätzung Gaugefunktionale 3

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man analog für beliebige $x\in A$ mit :

{\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\gamma }^{(sup)}&=&\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\gamma }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta _{2}}}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta _{2}}}}\right\|_{\beta _{2}}\cdot \left\|x\right\|_{\beta _{2}}=\left\|e\right\|_{\gamma }\cdot \left\|x\right\|_{\beta _{2}}\\\end{array}}

Damit erzeugt $\left\|\cdot \right\|_{\gamma }^{(sup)}$ keine feinere Topologie auf $A$ .

Abschätzung bzgl. Addition

Für $y\in T_{n}$ erhält man für das neutrale Element der Multiplikation $e\in A$ :

{\begin{array}{rcl}\left\|x+y\right\|_{n}^{(\alpha )}&=&{\|e\|_{\gamma }}\cdot \left\|x\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}+y\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &{\|e\|_{\gamma }}\cdot \left\|x\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{0}}+{\|e\|_{\gamma }}\cdot \left\|y\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{0}}\\&\leq &{\|e\|_{\gamma }}\cdot \left\|x\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}+{\|e\|_{\gamma }}\cdot \left\|y\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}\\&\leq &\underbrace {{\|e\|_{\gamma }}\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|x\cdot {\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}} _{=:\|x\|_{n+1}^{(\alpha )}}+\underbrace {{\|e\|_{\gamma }}\cdot \sup _{s\in T_{n}}\left\|y\cdot {\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}} _{=:\|y\|_{n+1}^{(\alpha )}}\\&=&\|x\|_{n+1}^{(\alpha )}+\|y\|_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}}

Abschätzung bzgl. Multiplikation

Für $y\in T_{n}$ erhält man für das neutrale Element der Multiplikation $e\in A$ :

{\begin{array}{rcl}\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}&=&{\|e\|_{\gamma }}^{2}\cdot \left\|x\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\cdot y\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &{\|e\|_{\gamma }}^{2}\cdot \left\|x\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}\cdot \left\|y\cdot {\frac {e}{\|e\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}\\&\leq &\underbrace {{\|e\|_{\gamma }}\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|x\cdot {\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}} _{=:\|x\|_{n+1}^{(\alpha )}}\cdot \underbrace {{\|e\|_{\gamma }}\cdot \sup _{s\in T_{n}}\left\|y\cdot {\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}} _{=:\|y\|_{n+1}^{(\alpha )}}\\&=&\|x\|_{n+1}^{(\alpha )}\cdot \|y\|_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}}

Abschätzung 2 - Gaugefunktional in der Sequenz

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man das Gaugefunktional nach oben abschätzen mit $\|x\|_{\beta _{3}}\leq \|x\|_{\gamma }$ .

{\begin{array}{rcl}\|x\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&{\|e\|_{\gamma }}\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|x\cdot {\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{2}}\\&\leq &{\|e\|_{\gamma }}\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left(\left\|x\right\|_{\beta _{3}}\cdot \left\|{\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta _{3}}\right)\\&\leq &{\|e\|_{\gamma }}\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left(\left\|x\right\|_{\beta _{3}}\cdot \left\|{\frac {s}{\|s\|_{\gamma }}}\right\|_{\gamma }\right)={\|e\|_{\gamma }}\cdot \left\|x\right\|_{\beta _{3}}\\\end{array}}

Damit erzeugt auch das Gaugefunktional $\|\cdot \|_{n+1}^{(\alpha )}$ keine feinere Topologie auf $A$ .

Abschätzung Einselement

Wegen ${\textstyle \left\|e\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|e\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\cdot \left\|e\right\|_{n+1}^{(\alpha )}={\left\|e\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}^{2}}$ gilt damit auch $\left\|e\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\geq {\sqrt {\left\|e\right\|_{n}^{(\alpha )}}}>0$ . Wurde $\left\|e\right\|_{0}^{(\alpha )}:=\|e\|_{\alpha }\geq 1$ gilt für die gesamte Sequenz $\left\|e\right\|_{n}^{(\alpha )}\geq 1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ .

Definition - Äquivalenz Gaugefunktionalsysteme

Zwei Systeme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {I}}}$ auf einem topologischen Vektorraum ${\textstyle V}$ heißen äquivalent (Bezeichnung: ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}\equiv \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {I}}}$ ), falls gilt:

{\begin{array}{ll}\forall _{\displaystyle \alpha \in I}\exists _{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {I}},C_{\alpha }>0}:&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ und}}\\\forall _{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {I}}}\exists _{\displaystyle \alpha \in I,C_{\widetilde {\alpha }}>0}:&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{\widetilde {\alpha }}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\\\end{array}}

Bemerkung

Äquivalente Systeme erzeugen die gleiche Topologie. Wenn man ein gerichtetes System und ein festes ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gegeben hat und als weitere Indexmenge ${\textstyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\beta \in {\mathcal {A}}:\beta \geq \alpha \}}$ definiert, dann sind ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ äquivalente Systeme.

Definition - partielle Ordnung auf Gaugefunktionalfolgen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}$ eine topologische Algebra und ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ , ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ zwei Folgen von Gaugefunktionalen in ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ .Dann definiert man:

\left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}:\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}

Lemma - normalisierte K-Sequenz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}$ eine topologische Algebra und

{\tilde {\cdot }}:{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}\longrightarrow {\mathcal {A}}{\mbox{ mit }}(\alpha ,n)\longmapsto {\widetilde {(\alpha ,n)}}

sei eine Abbildung, dann gibt es für alle ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ eine unnitale ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Sequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit

\left(\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}.

Beweisidee

Die Konstruktion der Sequenz in dem obigen Beweis liefert die Stetigkeitskeitssequenz mit:

Induktive Definition 1

Wenn die Topologie die Punkte trennt, gibt ein $\beta _{e}\in {\mathcal {A}}$ mit $\|e\|_{\beta _{e}}>0$ . Mit $U_{\gamma }:=B_{1}^{\gamma }(0_{A})$ und $U_{n}^{(\alpha )}:=\{x\in A\,:\,\|x\|_{n}^{(\alpha )}<1\}$ definiert man:

U_{\gamma }:=U_{n}^{(\alpha )}\cap B_{1}^{\beta _{e}}\!(0_{A})\cap B_{1}^{\beta _{1}}\!(0_{A})\cap B_{1}^{\beta _{2}}\!(0_{A})\cap B_{1}^{\beta _{3}}\!(0_{A})

wobei die Schnittmenge aus Einheitskugeln $U_{\gamma }$ in dem kontruktiven Beweis über die Trennungseigenschaft bzw. Stetigkeit der Addition und Multiplikation generiert wird.