Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe die Antworten als Bruch \zusatzklammer {bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß} {} {:} Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man erläutere die Uhrzeitangaben \anfuehrung{halb fünf}{,} \anfuehrung{viertel fünf}{,} \anfuehrung{drei viertel fünf}{.} Was würde \anfuehrung{ein sechstel fünf}{} und \anfuehrung{drei siebtel fünf}{} bedeuten?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in $\Z$, dass die durch
\aufzaehlungzwei {
\mathdisp {{ \frac{ a }{ c } } \cdot { \frac{ b }{ d } } \defeq { \frac{ ab }{ cd } }} { }
} {
\mathdisp {{ \frac{ a }{ c } } + { \frac{ b }{ d } } \defeq { \frac{ ad+bc }{ cd } }} { }
}
definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jede rationale Zahl als Bruch $a/b$ mit teilerfremdem Zähler und Nenner darstellen kann.
}
{\zusatzklammer {Man nennt dies die gekürzte Darstellung der rationalen Zahl.} {} {}} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die \stichwort {binomischen Formeln} {} für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
eindeutigen Primfaktorzerlegung
von natürlichen Zahlen, dass die
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{}
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise durch Induktion die folgende Formel.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+\sum_{i = 1}^n \frac{2^{2(i-1)} }{3^i}
}
{ =} { { \left( \frac{4}{3} \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Addition von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?
Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Multiplikation von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?
}
{} {}
Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden
\zusatzklammer {also ohne Bezug auf die Anschauung der Zahlengeraden} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \geq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n
}
{ \geq }{b^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n
}
{ \geq }{a^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } }
}
{ > }{ { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Vor den nächsten beiden Aufgaben erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.
Zu zwei
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {{ \frac{ x+y }{ 2 } }} { }
das \definitionswort {arithmetische Mittel}{.}
Zu zwei nichtnegativen
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ < }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
reelle Zahlen. Zeige, dass für das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
${ \frac{ x+y }{ 2 } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} { { \frac{ x+y }{ 2 } }
}
{ <} {y
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften für die
\definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {\betrag { x }
} {,}\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige reelle Zahlen} {} {.}\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{\betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ = }{ \betrag { x-y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy }
}
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} }
}
{ = }{ \betrag { x }^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {,} das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen
\mathl{x \geq -1}{} und
\mathl{n \in \N}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1+x \right) }^n
}
{ \geq} { 1+nx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $x$ eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Induktion die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^n x^k
}
{ =} { { \frac{ x^{n+1} -1 }{ x-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p \neq 2,5$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form
\zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {}
\mathdisp {111 \ldots 111} { }
gibt, die ein
\definitionsverweis {Vielfaches}{}{}
von $p$ ist.
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 2.13
mit \mathlk{a=10}{} und \mathlk{p=d}{} und die vorstehende Aufgabe.}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien drei Punkte
\mathl{P_1,P_2,P_3 \in \Q^2 \subset \R^2}{} gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es kein \definitionsverweis {nichtausgeartetes}{}{} \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} im $\R^2$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Freigetränk-Aufgabe}
Für die richtige Lösung der nächsten Aufgabe gibt es heute abend ein Freigetränk, nur die ersten fünf Lösungen werden prämiert. Ein Polynom
\zusatzklammer {oder eine Polynomfunktion} {} {}
ist ein Ausdruck der Form
\mathl{a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1 x^1 + a_0 x^0}{,} wobei die Koeffizienten $a_i$ reelle Zahlen sind.
\inputaufgabe
{}
{
Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\N$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert
\mathl{P(n_1), P(n_2) , \ldots , P(n_r)}{} zu gewissen natürlichen Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{} ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen \zusatzklammer {unabhängig vom Polynom} {} {} beschränkt ist.
}
{} {}
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