Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 3

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist:


Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Aufgabe *

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Aufgabe

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine drei Viertel Stunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine drei Viertel Stunde?


Aufgabe

Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?


Aufgabe *

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe

Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in , dass die durch

definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.


Aufgabe

Zeige, dass man jede rationale Zahl als Bruch mit teilerfremdem Zähler und Nenner darstellen kann.

(Man nennt dies die gekürzte Darstellung der rationalen Zahl.)

Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.


Aufgabe

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige, unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.


Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.


Aufgabe

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Addition von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Multiplikation von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?


Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden (also ohne Bezug auf die Anschauung der Zahlengeraden).

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. .
  2. Aus und folgt .
  3. Aus und folgt .
  4. Es ist .
  5. Aus folgt für alle .
  6. Aus folgt für ganze Zahlen .
  7. Aus folgt .
  8. Aus folgt .


Vor den nächsten beiden Aufgaben erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.


Zu zwei reellen Zahlen und heißt

das arithmetische Mittel.


Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt

das geometrische Mittel.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

(dabei seien beliebige reelle Zahlen).
  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. genau dann, wenn oder ist.
  4. .
  5. .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).


Aufgabe *

Beweise die Bernoulli-Ungleichung, das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen und die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei eine reelle Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)

gibt, die ein Vielfaches von ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 2.13 mit und und die vorstehende Aufgabe.

Aufgabe

Es seien drei Punkte gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.


Aufgabe

Zeige, dass es kein gleichseitiges Dreieck im gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.




Die Freigetränk-Aufgabe

Für die richtige Lösung der nächsten Aufgabe gibt es heute abend ein Freigetränk, nur die ersten fünf Lösungen werden prämiert. Ein Polynom (oder eine Polynomfunktion) ist ein Ausdruck der Form , wobei die Koeffizienten reelle Zahlen sind.

Aufgabe

Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.


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