Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.
\inputaufgabe
{}
{
Stimmen die beiden reellen Zahlen
\mathdisp {{ \frac{ \pi \sqrt{163} }{ 3 } } \text{ und } \ln 640320} { }
überein?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Stimmen die beiden reellen Zahlen
\mathdisp {{\sqrt{ 5 } } + {\sqrt{ 22+2 {\sqrt{ 5 } } } } \text{ und } {\sqrt{ 11 +2 {\sqrt{ 29 } } } } + {\sqrt{ 16-2 {\sqrt{ 29 } } +2 {\sqrt{ 55-10 {\sqrt{ 29 } } } } } }} { }
überein?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{a/b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige, dass die Dezimaldarstellung von $q$ genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen $2$ und $5$ vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $a$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung $x^2= a$ höchstens zwei Lösungen in $\R$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {Folge}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
zwei
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Die folgende Aussage nennt man auch das \stichwort {Quetschkriterium für Folgen} {.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
reeller Zahlen mit
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( c \cdot x_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( c \cdot x_n \right) }
}
{ =} { c \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
reelle
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ y_n }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 1.13
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 2n+5 \sqrt{n} +7 }{ -5 n+3 \sqrt{n} -4 } }} { }
definierten
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{.}
}
{} {}
In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.
Die Folge der \definitionswort {Fibonacci-Zahlen}{} $f_n$ ist rekursiv definiert durch
\mathdisp {f_1 \defeq 1 \, , f_2 \defeq 1 \text{ und } f_{n+2} \defeq f_{n+1} +f_{n}} { . }
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise durch Induktion die \stichwort {Simpson-Formel} {} oder Simpson-Identität für die
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
$f_n$. Sie besagt
\zusatzklammer {für \mathlk{n \geq 2}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{n+1} f_{n-1} - f_n^2
}
{ =} {(-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.}
Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die folgenden \zusatzklammer {Pseudo} {} {-}Definitionen.
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei
\mathl{x \in K}{.}
\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation \zusatzklammer {Beweis oder Gegenbeispiel} {} {?}
Für welche Definitionen ist das $x$ eindeutig bestimmt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ (-1)^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Anhang) treffen zu?
}
{} {}
Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.25 an.
\inputaufgabe
{}
{
Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\N$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert
\mathl{P(n_1), P(n_2) , \ldots , P(n_r)}{} zu gewissen natürlichen Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{} ist, vergleiche
Aufgabe 3.25.
Zeige, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{}
\zusatzklammer {also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten} {} {}
im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist.
}
{} {}
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