Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe *

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$, liegen unter einer Palme, ${}A$ besitzt ${}2$ Fladenbrote und ${}B$ besitzt ${}3$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${}C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${}5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${}5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${}C$ an ${}A$ und an ${}B$?

Aufgabe

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

Aufgabe

Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?

Aufgabe *

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe

Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in ${}\mathbb {Z}$, dass die durch

1. ${\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{d}}:={\frac {ab}{cd}}$

2. ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{d}}:={\frac {ad+bc}{cd}}$

definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.

Aufgabe

Zeige, dass man jede rationale Zahl als Bruch ${}a/b$ mit teilerfremdem Zähler und Nenner darstellen kann.

(Man nennt dies die gekürzte Darstellung der rationalen Zahl.)

Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.

${}1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {2^{2(i-1)}}{3^{i}}}={\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe

Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man

${}{\frac {a}{b}}\oplus {\frac {c}{d}}:={\frac {a+c}{b+d}}\,$

setzt. Sie beschränkt sich auf positive ${}a,b,c,d$. Überprüfe ihre Behauptungen:

1. Bei

   ${}{\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\,$

   gilt

   ${}{\frac {a}{b}}\leq {\frac {a+c}{b+d}}\leq {\frac {c}{d}}\,.$

   Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen.

2. Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert.
3. Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert.
4. Die Verknüpfung ist kommutativ.
5. Die Verknüpfung ist nicht assoziativ.

Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Addition von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Multiplikation von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?

Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden (also ohne Bezug auf die Anschauung der Zahlengeraden).

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}1\geq 0$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
3. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
4. Es ist ${}a^{2}\geq 0$.
5. Aus ${}a\geq b\geq 0$ folgt ${}a^{n}\geq b^{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
6. Aus ${}a\geq 1$ folgt ${}a^{n}\geq a^{m}$ für ganze Zahlen ${}n\geq m$.
7. Aus ${}a>0$ folgt ${}{\frac {1}{a}}>0$.
8. Aus ${}a>b>0$ folgt ${}{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$.

Vor den nächsten beiden Aufgaben erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\frac {x+y}{2}}$

das arithmetische Mittel.

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Aufgabe

Es seien ${}x<y$ reelle Zahlen. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

(dabei seien ${}x,y$ beliebige reelle Zahlen).

1. Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
7. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.

Aufgabe *

Beweise die Bernoulli-Ungleichung, das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen ${}x\geq -1$ und ${}n\in \mathbb {N}$ die Abschätzung

${}{\left(1+x\right)}^{n}\geq 1+nx\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}p\neq 2,5$ eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)

$111\ldots 111$

gibt, die ein Vielfaches von ${}p$ ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 2.27 mit $a=10$ und $p=d$ und die vorstehende Aufgabe.

Aufgabe

Es seien drei Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

Aufgabe

Zeige, dass es kein nichtausgeartetes gleichseitiges Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

Die Freigetränk-Aufgabe

Für die richtige Lösung der nächsten Aufgabe gibt es heute abend ein Freigetränk, nur die ersten fünf Lösungen werden prämiert. Ein Polynom (oder eine Polynomfunktion) ist ein Ausdruck der Form ${}a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}$, wobei die Koeffizienten ${}a_{i}$ reelle Zahlen sind.

Aufgabe

Zwei Personen ${}A$ und ${}B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ${}A$ ein Polynom ${}P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus ${}\mathbb {N}$ sein müssen. Person ${}B$ darf fragen, was der Wert ${}P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})$ zu gewissen natürlichen Zahlen ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ ist. Dabei darf ${}B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für ${}B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.