Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.

Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen

${\frac {\pi {\sqrt {163}}}{3}}\,\,{\text{ und }}\,\,\ln 640320$

überein?

Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen

${\sqrt {5}}+{\sqrt {22+2{\sqrt {5}}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {11+2{\sqrt {29}}}}+{\sqrt {16-2{\sqrt {29}}+2{\sqrt {55-10{\sqrt {29}}}}}}$

überein?

Aufgabe

Es sei ${}q=a/b$ eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige, dass die Dezimaldarstellung von ${}q$ genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen ${}2$ und ${}5$ vorkommen.

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}\mathbb {R}$ besitzt.

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.

Aufgabe

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {1}{10^{n}}}\,$

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Die folgende Aussage nennt man auch das Quetschkriterium für Folgen.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei reelle Folgen. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert.

Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${}{\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$.

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge und ${}c\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(c\cdot x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(c\cdot x_{n}\right)}=c\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle konvergente Folgen. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent ist mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

${}x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,$

definierten Folge.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.13 hilfreich.

Aufgabe

Zeige, dass die reelle Folge

${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

$f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$

Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

${}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,$

gilt (${}n\geq 1$).

Aufgabe

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}x_{n}\neq 0$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe

Betrachte die folgenden (Pseudo)-Definitionen.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$.

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.$

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon \geq 0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, derart, dass für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}x_{n}-x\leq \epsilon \,$

   gilt.

Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation (Beweis oder Gegenbeispiel)? Für welche Definitionen ist das ${}x$ eindeutig bestimmt?

Aufgabe *

Betrachte die Folge ${}x_{n}=(-1)^{n}$ und ${}x=-1$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.25 an.

Aufgabe

Zwei Personen ${}A$ und ${}B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ${}A$ ein Polynom ${}P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus ${}\mathbb {N}$ sein müssen. Person ${}B$ darf fragen, was der Wert ${}P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})$ zu gewissen natürlichen Zahlen ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ ist, vergleiche Aufgabe 3.25. Zeige, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ (also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten) im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist.