Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 4

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Übungsaufgaben

Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.

Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen

überein?


Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen

überein?


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige, dass die Dezimaldarstellung von genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen und vorkommen.


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung gilt.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe *

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Die folgende Aussage nennt man auch das Quetschkriterium für Folgen.

Aufgabe *

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.


Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Es sei eine reelle konvergente Folge und . Zeige, dass die Folge ebenfalls konvergent mit

ist.

Aufgabe *

Es sei eine reelle konvergente Folge mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe

Es seien und reelle konvergente Folgen. Es sei und für alle . Zeige, dass ebenfalls konvergent ist mit


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.13 hilfreich.

Aufgabe

Zeige, dass die reelle Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen und mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe

Betrachte die folgenden (Pseudo)-Definitionen.


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation (Beweis oder Gegenbeispiel)? Für welche Definitionen ist das eindeutig bestimmt?


Aufgabe *

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?


Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.25 an.

Aufgabe

Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist, vergleiche Aufgabe 3.25. Zeige, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen (also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten) im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist.



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