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Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.



Es sei eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also für und für alle und eine gewisse reelle Zahl . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.



Es sei eine reelle Folge. Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?



Es sei eine reelle Folge und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass

gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.



Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.



Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.



Es sei eine Intervallschachtelung für und eine Intervallschachtelung für . Beschreibe eine Intervallschachtelung für .



Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.


Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.



Es sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.



Berechne die Gaußklammer von .



Berechne die Gaußklammer



Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.



Es sei eine rationale Zahl. Zeige, dass genau dann ganzzahlig ist, wenn

gilt.



Es sei

das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass

ist.



Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge und entsprechenden Grenzen.



Bestimme die Dezimalentwicklung von anhand des in Satz 5.8 besprochenen Rekursionsschemas.



Zeige durch Induktion nach , dass für eine reelle Zahl und die durch das Rekursionsschema aus Satz 5.8 definierten Zahlen und die Gleichheiten

gelten.



Zeige, dass für eine rationale Zahl das Rekursionsschema aus Satz 5.8 die Eigenschaft besitzt, dass ein Bruch mit als Nenner ist und dass die Beziehung

mit

gilt.



Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

und

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.



Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?



Führe die schriftlichen Divisionen

durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?



Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.



Es sei diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus Neunen bestehe. Bestimme das Ergebnis der schriftlichen Division .



Führe die schriftliche Division

durch.



Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.



Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.



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