Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 4

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert:

1. ${}a_{n}={\frac {3n^{2}-7n+1}{2n^{2}+n-1}}$,
2. ${}b_{n}={\frac {n-1}{n+1}}+(-1)^{n}\cdot {\frac {n+2}{n^{2}+1}}$,
3. ${}c_{n}={\frac {n-1}{n+1}}+(-1)^{n}\cdot {\frac {n+2}{n+1}}$,
4. ${}d_{n}=(1-{\frac {1}{n^{2}}})^{n}$,
5. ${}e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$.

Aufgabe

Betrachte die durch ${}x_{0}:=1,x_{n+1}:=x_{n}+{\frac {1}{x_{n}}}$ rekursiv definierte Folge ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Ist ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt? Konvergiert die Folge?

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch

$x_{1}:=1,\,x_{n+1}:={\frac {2+x_{n}}{1+x_{n}}},$

rekursiv definierte Folge konvergiert.

Aufgabe

Bestimme alle Häufungspunkte der Folge ${}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, welche durch

$a_{n}=(-1)^{n}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n}}$

gegeben ist.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert:

1. ${}a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n^{2}}}$,
2. ${}b_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Folge ${}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}a_{n}={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$ konvergiert.

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