Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl ${}q$ modulo unendlich vieler Primzahlen ${}p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {\varphi (n)}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, sowohl in ${}1$ als auch in ${}0$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,$

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für ${}c$ mit ${}\pi (x)\geq c{\frac {x}{\ln(x)}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für ${}x$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen ${}x$ und ${}x^{2}$ als zwischen ${}1$ und ${}x$ gibt.

Aufgabe (1 Punkt)

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die kleinste Primzahl ${}p$ derart, dass es in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Element ${}a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {1489}{2437}}\right).$