Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12

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Aufgabe (2 Punkte)

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl modulo unendlich vieler Primzahlen ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche -Funktion.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen und als zwischen und gibt.


Aufgabe (1 Punkt)

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?


Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die kleinste Primzahl derart, dass es in ein Element gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol