Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14/kontrolle

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass ${}2$ eine Primitivwurzel modulo ${}q=2p+1$ ist genau dann, wenn ${}p=1\mod 4$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl und ${}q=2p+1$. Es sei ${}a$ gegeben mit ${}2\leq a\leq q-2$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine primitive Einheit modulo ${}q$ ist, wenn es kein Quadratrest modulo ${}q$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl, ${}q=2p+1$. Zeige, dass ${}q$ ein Teiler von ${}M_{p}+2=2^{p}+1$ genau dann ist, wenn ${}q=\pm 3\mod 8$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige: Für eine Primzahl ${}p$ ist die Mersennesche Zahl ${}M_{p}$ quasiprim zur Basis ${}2$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass ${}n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}1105$ und ${}1729$ Carmichael-Zahlen sind.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}>3$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p-1$ und ${}3p-2$ prim sind. Zeige, dass dann

$n=p(2p-1)(3p-2)$

eine Carmichael-Zahl ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${}n$ zwischen ${}100$ und ${}200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine gerade vollkommene Zahl. Berechne die eulersche Funktion ${}{\varphi (n)}$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine gerade vollkommene Zahl, ${}n\neq 6$. Zeige, dass ${}n$ die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.