Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 17/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass für natürliche Zahlen
\mathl{a,b \geq 1}{} und
\mathl{n \geq 2}{} die Zahl
\mathl{a^ n - b ^n}{} nicht ein Teiler von
\mathl{a^ n + b ^n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\zusatzklammer {über $\Z$} {} {}
für die
\definitionsverweis {Eisensteinzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ -1+\sqrt{-3} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{Fakt}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass wenn $R$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist, die Begriffe
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
und
\definitionsverweis {ganz}{}{}
für ein Element
\mathl{x \in A}{} übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $k$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {\Z[ k { \mathrm i} ]
}
{ =} {{ \left\{ a+ck{ \mathrm i} \mid a,c \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} { \Z[{ \mathrm i}]
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{\Z[X]/(X^2+k^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass $\Z[{ \mathrm i}]$
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{a \in R}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{}
\definitionsverweis {prim}{}{}
in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
äquivalent sein.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring
\mathl{K[X,Y]}{} in zwei Variablen über einem Körper $K$ verwendet. Diesen kann man definieren als
\mathl{(K[X])[Y]}{.} Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt
\mathdisp {P=\sum_{i,j} a_{ij}X^{i}Y^{j}} { . }
Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ
\mathl{R=K[X,Y]/(F)}{.} Die Nullstellenmenge von$F$ besteht aus der Menge derjenigen Punkte
\mathl{(x,y)}{} in der Ebene, für die
\mathl{F(x,y)=0}{} ist (dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes $R$).
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { K[X,Y]/(X^2-Y^3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
nach
Aufgabe *****.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Normalisierung}{}{}
von $R$ gleich dem Polynomring
\mathl{K[T]}{} ist. Skizziere die Nullstellenmenge von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ X^2-Y^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte den
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {R = K[X,Y]} { K[T]
} {,}
der durch die Einsetzung
\mathdisp {X \longmapsto (T-1)(T+1) \text{ und }Y \longmapsto T(T-1)(T+1)} { }
gegeben ist. Finde ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $F$ unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird. Skizziere die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
von $F$ in der reellen Ebene.
}
{} {}
Es kann natürlich auch mehr als zwei Variablen geben, und der Grundring muss kein Körper sein, wie in folgender Aufgabe.
\inputaufgabe
{4}
{
Definiere unter Anlehnung an die
Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathdisp {\Z[X,Y,Z]/(X^2+Y^2-Z^2) \longrightarrow \Z[U,V]} { . }
Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.
}
{} {}