Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 17

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen und die Zahl nicht ein Teiler von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde eine irreduzible Ganzheitsgleichung (über ) für die Eisensteinzahl .


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich. Sei angenommen, dass die Normalisierung von gleich dem Quotientenkörper ist. Zeige, dass dann selbst schon ein Körper ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und eine -Algebra. Zeige, dass wenn ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring

Zeige die Isomorphie und dass ganz über ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und . Es sei vorausgesetzt, dass keine Quadratwurzel in besitzt. Zeige, dass das Polynom prim in ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.


In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper verwendet. Diesen kann man definieren als . Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt

Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ . Die Nullstellenmenge von besteht aus der Menge derjenigen Punkte in der Ebene, für die ist (dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes ).

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und betrachte den Restklassenring

Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe *****. Zeige, dass die Normalisierung von gleich dem Polynomring ist. Skizziere die Nullstellenmenge von in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und betrachte den Ringhomomorphismus , der durch die Einsetzung

gegeben ist. Finde ein von verschiedenes Polynom derart, dass unter auf abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmenge von in der reellen Ebene.


Es kann natürlich auch mehr als zwei Variablen geben, und der Grundring muss kein Körper sein, wie in folgender Aufgabe.

Aufgabe (4 Punkte)

Definiere unter Anlehnung an die Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen Ringhomomorphismus

Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.