Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9/kontrolle

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Zahlen ${}n$ zwischen ${}155$ und ${}159$, ob ${}n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für alle Zehnerpotenzen ${}\geq 10$ eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Primzahl ${}p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung ${}r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt ${}n$ maximal?

Aufgabe (2-3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.

Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.

Gaußsche Ebene, 1. Quadrant

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine ganze Zahl ${}n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von ${}2$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gleich ${}0$ oder ${}\geq 2$ ist.

Aufgabe (7 (1+1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Für einen Körper ${}K$ bezeichnet ${}K^{\times 2}\subseteq K^{\times }$ die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

$K^{\times }/K^{\times 2}.$

1. ${}K$ ist ein endlicher Körper.
2. ${}K=\mathbb {R}$.
3. ${}K=\mathbb {C}$.
4. ${}K=\mathbb {Q}$.