Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Aufgabenblatt zu Peano-Axiomen

In den folgenden Aufgaben geht es darum, die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen abzuleiten. Dies ist im Allgemeinen mühsam und sollte nur exemplarisch durchgeführt werden, um sich ein Bild von einem formalen Aufbau der Zahlen machen zu können.

Wir erinnern an die Peano-Axiome:

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   • ${}0\in T$,
   • mit jedem Element
   ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

gelten, so ist ${}T=N$.

Aufgabe *

Zeige, das zwei Mengen ${}\mathbb {N} _{1}$ und ${}\mathbb {N} _{2}$, die beide die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung ${}\mathbb {N} _{1}\rightarrow \mathbb {N} _{2}$ an, die ${}0_{1}$ in ${}0_{2}$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.

Aufgabe *

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element ${}n\in {\mathbb {N} }$, ${}n\neq 0$, einen Vorgänger besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {N} }$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Addition auf ${}{\mathbb {N} }$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und ${}0$ als neutrales Element besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {N}$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie ${}1:=0'$ als neutrales Element besitzt.

Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 3 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.

Aufgabe

Leite das Induktionsprinzip für Aussagen (das Beweisverfahren) aus den Dedekind-Peano-Axiomen ab.