Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{840}{} in $\Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{840}{} in $\Z[ { \mathrm i} ]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zur Gaußschen Zahl
\mathl{5+7 { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
$p_i$ und einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
$u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ =} { \nu_1 (p_1) + \cdots + \nu_r (p_r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
bezeichnen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} mit dem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
zum
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$(f)$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \operatorname{min} { \left\{ \operatorname{div} { \left( f_i \right) } \mid i = 1 , \ldots , n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ \leq} {\operatorname{div} { \left( g \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn für alle
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R/{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $R_{\mathfrak p}$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S)
}
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen Körper nennt man auch den \stichwort {Restekörper} {} von ${\mathfrak p}$
- man bezeichnet ihn mit
\mathl{\kappa ( {\mathfrak p} )}{.} Die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} { \kappa ( {\mathfrak p} ) } {f} { f \mod {\mathfrak p} } {,} \zusatzklammer {aufgefasst in diesem Körper} {} {} heißt auch die \stichwort {Auswertungsabbildung} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {Evaluationsabbildung} {}} {} {} an der Stelle ${\mathfrak p}$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {R} {K
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
in einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
\mathdisp {R \longrightarrow \kappa( {\mathfrak p} ) \longrightarrow K} { }
mit einem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}[X]} { {\mathbb C}
} {X} {a
} {,}
mit der
\definitionsverweis {Evaluationsabbildung}{}{}
\zusatzklammer {in den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Brent method example.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Brent method example.png } {} {Jitse Niesen} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme ein Polynom
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} minimalen Grades, das an der Stelle
\mathl{3}{} mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle ${\mathrm i}$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen $0, 3-2 {\mathrm i}$ und $7 {\mathrm i}$ einfach verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten in
\mathl{K[X,Y]}{} die beiden
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (X)
}
{ \subset} { (X,Y)
}
{ =} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es kein Ideal ${\mathfrak a}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{}
von
\mathl{\Z/(n)}{} und die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ derart, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
an ${\mathfrak p}$ kein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{-5}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte in $R$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3
}
{ =} { (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die beteiligten Elemente
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
zu diesen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathl{f,g \in R}{,}
\mathl{f,g \neq 0}{.} Zeige ohne Verwendung
des Bijektionssatzes,
dass die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
$\operatorname{div} { \left( f \right) }$ und
\mathl{\operatorname{div} { \left( g \right) }}{} genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}
wenn der zugehörige
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Gestalt $1 {\mathfrak p}$ mit einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
wenn
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungsieben{$n$ ist die
\definitionsverweis {Potenz}{}{} einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {lokal}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{Jeder Nullteiler von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
}
}
{} {}
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