Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element , , den Hauptdivisor zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Es ist .

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und , . Zeige, dass genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor ein effektiver Divisor ist.


Aufgabe

Sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor den „konjugierten Divisor“ . Zeige, dass für , , die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor.


Aufgabe *

Sei

Berechne den Hauptdivisor zu


RationalDegree2byXedi.svg

Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in eine Nullstelle der Ordnung genau dann besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.


Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.


Aufgabe *

Sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger

gegeben ist.


Aufgabe

Es sei

ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich . Zeige, dass

ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.


Aufgabe *

Es seien und gebrochene Ideale in einem Zahlbereich . Es gelte

Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem Zahlbereich mit dem zugehörigen effektiven Divisor . Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal

gleich dem zu gehörenden gebrochenen Ideal ist.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und es seien und gebrochene Ideale.

  1. Zeige, dass wenn es ein , , mit

    gibt, dass dann die Multiplikation mit , also

    einen -Modulisomorphismus

    induziert.

  2. Zeige, dass wenn es irgendeinen -Modulisomorphismus

    gibt, dass es dann schon ein mit

    gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.


Aufgabe

Beweise Lemma 24.12.


Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.


Aufgabe

Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge nur endlich viele minimale Elemente besitzt.


Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und . Zu einem Ideal nennt man das von erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von unter . Es wird mit bezeichnet.


Aufgabe

Es sei

ein Ringhomomorphismus und es seien Ideale in . Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten

und




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.


Aufgabe (4 Punkte)

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei (mit ) ein Ideal in einem Zahlbereich und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt

hat. Zeige, dass ein Hauptideal sein muss.



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