Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, den Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
2. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

$Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}$

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in Q(R)$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass ${}f\in R$ genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ ein effektiver Divisor ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor ${}D$ den „konjugierten Divisor“ ${}{\overline {D}}$. Zeige, dass für ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Beziehung

${}{\overline {\operatorname {div} {\left(q\right)}}}=\operatorname {div} {\left({\overline {q}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=14$. Berechne zu

${}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Aufgabe *

Es sei

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.$

Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die an der Stelle ${}2-{\mathrm {i} }$ einen Pol der Ordnung ${}4$, in ${}-3+5{\mathrm {i} }$ eine Nullstelle der Ordnung ${}2$ und in ${}-3$ einen Pol der Ordnung ${}3$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}f$ in ${}a\in {\mathbb {C} }$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${}k$ besitzt, wenn ${}f^{-1}$ in ${}a$ einen Pol der Ordnung ${}k$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {4}{7}},\,{\frac {7}{10}},\,{\frac {13}{8}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\frac {11}{77}},\;{\frac {25}{49}},\;{\frac {82}{15}}.$

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.

Aufgabe *

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus ${}Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger

${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich ${}R$. Zeige, dass

${}{\mathfrak {f}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$

ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.

Aufgabe *

Es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Zahlbereich ${}R$. Es gelte

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {f}}^{-1}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem Zahlbereich ${}R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor ${}E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal

${}{\mathfrak {a}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R\right\}}\,$

gleich dem zu ${}-E$ gehörenden gebrochenen Ideal ${}\operatorname {Id} (-E)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass wenn es ein ${}r\in Q(R)$, ${}r\neq 0$, mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, dass dann die Multiplikation mit ${}r$, also

   $Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,$

   einen ${}R$- Modulisomorphismus

   ${\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   induziert.

2. Zeige, dass wenn es irgendeinen ${}R$-Modulisomorphismus

   $\varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   gibt, dass es dann schon ein ${}r\in Q(R)$ mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

Aufgabe

Beweise Lemma 24.12.

Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.

Aufgabe

Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ nur endlich viele minimale Elemente besitzt.

Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ nennt man das von ${}\varphi {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von ${}{\mathfrak {a}}$ unter ${}\varphi$. Es wird mit ${}{\mathfrak {a}}B$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein Ringhomomorphismus und es seien ${}{\mathfrak {a}}_{1},{\mathfrak {a}}_{2}$ Ideale in ${}A$. Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten

${}{\left({\mathfrak {a}}_{1}+{\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\mathfrak {a}}_{1}B+{\mathfrak {a}}_{2}B\,$

und

${}{\left({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\left({\mathfrak {a}}_{1}B\right)}\cdot {\left({\mathfrak {a}}_{2}B\right)}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-13}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-13}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-13$. Berechne zu

$q={\frac {2}{3}}-{\frac {5}{7}}{\sqrt {-13}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe (4 Punkte)

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\frac {3}{4}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} },\,2+{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} },\,{\frac {1}{7}}+7{\mathrm {i} }.$

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ (mit ${}f_{i}\neq 0$) ein Ideal in einem Zahlbereich ${}R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ die Gestalt

${}{\mathfrak {a}}^{-1}=(f_{1}^{-1},\ldots ,f_{n}^{-1})\,$

hat. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal sein muss.