Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}840$ in ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}840$ in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl ${}5+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$ als ein Produkt

${}f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,$

mit Primelementen ${}p_{i}$ und einer Einheit ${}u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,$

gilt, wobei die ${}(p_{i})$ die von ${}p_{i}$ erzeugten Primideale bezeichnen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem Divisor zum Hauptideal ${}(f)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Zeige

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\mid i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien ${}f,g\in R$ von ${}0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass ${}f$ genau dann ein Teiler von ${}g$ ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\leq \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(S)$ und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen Körper nennt man auch den Restekörper von ${}{\mathfrak {p}}$; man bezeichnet ihn mit ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$. Die Abbildung

$R\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}}),\,f\longmapsto f\mod {\mathfrak {p}},$

(aufgefasst in diesem Körper) heißt auch die Auswertungsabbildung (oder Evaluationsabbildung) an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$\varphi \colon R\longrightarrow K$

ein Ringhomomorphismus in einen Körper ${}K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung

$R\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow K$

mit einem Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass zu ${}a\in {\mathbb {C} }$ der Einsetzungshomomorphismus

${\mathbb {C} }[X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto a,$

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ${\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}/(X-a){\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$) zum Primideal ${}(X-a)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$ von ${}{\mathbb {C} }[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Aufgabe

Bestimme ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ minimalen Grades, das an der Stelle ${}3$ mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle ${}{\mathrm {i} }$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen ${}0,3-2{\mathrm {i} }$ und ${}7{\mathrm {i} }$ einfach verschwindet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten in ${}K[X,Y]$ die beiden Primideale

${}{\mathfrak {p}}=(X)\subset (X,Y)={\mathfrak {m}}\,.$

Zeige, dass es kein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {m}}\,$

gibt.

Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Reduktion von ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 1$ quadratfrei und ${}D=1\mod 4$. Finde in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ derart, dass die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {p}}$ kein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-5$. Betrachte in ${}R$ die Zerlegung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f,g\in R$, ${}f,g\neq 0$. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ und ${}\operatorname {div} {\left(g\right)}$ genau dann gleich sind, wenn ${}f$ und ${}g$ assoziiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${}f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Gestalt ${}1{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ besitzt.

Das Element ${}f$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ${}\neq 0$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.