Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in ein multiplikatives System bildet.


Aufgabe

Sei eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ganz ist.


Aufgabe

Sei eine quadratfreie Zahl, sei und sei der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme von ein Ringisomorphismus

vorliegt.


Aufgabe *

Sei die Nenneraufnahme zu ( besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe mit

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich und seien teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper genommenen) Durchschnitt

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, .

  1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu , also mit

    ein Unterring von ist.

  2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst die Menge der formalen Brüche mit Nenner in , also

Zeige, dass durch

eine Äquivalenzrelation auf definiert ist. Wir bezeichnen mit die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein -Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

und zeige, dass sie ein -Modul ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist normal.
  2. Für jedes Primideal ist die Lokalisierung normal.
  3. Für jedes maximale Ideal ist die Lokalisierung normal.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei , wobei die , , alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ist normal.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten -Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und kommutative Ringe und sei ein multiplikatives System. Es sei

ein Ringhomomorphismus derart, dass eine Einheit in ist für alle . Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und teilerfremde Zahlen und sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme normal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 22.14 formuliert sind.



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