Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 22
- Übungsaufgaben
Es sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in ein multiplikatives System bildet.
Es sei eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ganz ist.
Es sei eine quadratfreie Zahl, sei und sei der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an ein Ringisomorphismus
vorliegt.
Es sei die Nenneraufnahme zu ( besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe mit
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von .
Es sei ein Zahlbereich und seien teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper genommenen) Durchschnitt
gilt.
Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge
ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?
Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, .
- Zeige, dass die
Nenneraufnahme
zu , also mit
ein Unterring von ist.
- Zeige, dass nicht jeder Unterring von eine Nenneraufnahme ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst die Menge der formalen Brüche mit Nenner in , also
Zeige, dass durch
eine Äquivalenzrelation auf definiert ist. Wir bezeichnen mit die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus .
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie
gibt.
Es sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.
Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein - Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“
und zeige, dass sie ein -Modul ist.
Es seien und kommutative Ringe und sei ein multiplikatives System. Es sei
ein Ringhomomorphismus derart, dass eine Einheit in ist für alle . Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
der fortsetzt.
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal in . Zeige, dass die Lokalisierung ein lokaler Ring mit maximalem Ideal
ist.
Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- ist normal.
- Für jedes Primideal ist die Lokalisierung normal.
- Für jedes maximale Ideal ist die Lokalisierung normal.
Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei , wobei die , , alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ist normal.
Es sei ein Körper und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass
ein diskreter Bewertungsring ist.
Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.
Es sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung
Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
Es sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .
Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten - Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und teilerfremde Zahlen und sei
ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie
gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme normal ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Integritätsbereich, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal . Zeige, dass die Ordnung
folgende Eigenschaften besitzt.
- .
- .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn ist.
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