Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 28/latex

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\setcounter{section}{28}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine ganzzahlige $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ genau dann \zusatzklammer {als ganzzahlige Matrix} {} {} invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 11 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} $\triangle$ einer \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle }
{ =} { 0,1 \mod 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten \stichwort {Hauptformen} {} \mathkor {} {X^2 - { \frac{ \triangle }{ 4 } } Y^2} {bzw.} {X^2+ XY - { \frac{ \triangle-1 }{ 4 } } Y^2} {} realisiert werden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $F$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{} \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{.} Zeige, dass die von der Menge der durch $F$ \definitionsverweis {darstellbaren}{}{} Zahlen erzeugte Untergruppe gleich $\Z$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F=aX^2+bXY+cY^2}{} eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{} und $F'$ die mittels der Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} transformierte Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{F M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Koeffizienten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a' & { \frac{ 1 }{ 2 } } b' \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } b' & c' \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} r & t \\ s & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & { \frac{ 1 }{ 2 } } b \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{F=aX^2+bXY+cY^2}{} eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{} und $F'$ die mittels der Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} transformierte Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{F M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} b' & 2c' \\ 2a' & b' \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} u & s \\ t & r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & 2c \\ 2a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Eigenschaft einer \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{,} \definitionsverweis {einfach}{}{} zu sein, nur von der \definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{} der Form abhängt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man mit der \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {x^2 -10 y^2} { }
weder die Zahl $2$ noch die Zahl $-2$ darstellen kann.

}
{} {}

Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form
\mathl{rX+sY}{.}


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{} über ${\mathbb C}$ in \zusatzklammer {homogene} {} {} Linearfaktoren zerfällt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{} mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{.} Charakterisiere mit Hilfe der \definitionsverweis {Diskriminante}{}{,} ob diese Form über $\R$ in \zusatzklammer {homogene} {} {} Linearfaktoren zerfällt.

}
{} {}

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Diskriminante gleich $b^2$, also ein Quadrat, und die Form zerfällt in
\mathl{Y(bX+cY)}{.} Ein ähnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{} mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über $\Q$ in \zusatzklammer {homogene} {} {} Linearfaktoren zerfällt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2 +bXY +cY^2}{} mit einer quadratfreien \zusatzklammer {bzw. bis auf den Faktor $4$ quadratfreien} {} {} \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} \definitionsverweis {einfach}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2+bXY+cY^2}{} eine quadratische Form auf dem $\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Z^2}{} im Sinne der Definition 28.8 ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {Q} {L} {R } {} eine \definitionsverweis {quadratische Form}{}{} auf dem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $L$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{.} Zeige, dass die Einschränkung von $Q$ auf $M$ ebenfalls eine quadratische Form ist.

}
{} {}

Bei der nächsten Aufgabe denke man an $S=\Q$,
\mathl{R=\Z}{,} bei $L$ an den Quotientenkörper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form \zusatzklammer {mit Werten in $\Q$} {} {} und bei $M$ an ein \definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{} von $L$.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein $S$-\definitionsverweis {Modul}{}{} und \maabb {Q} {L} {S } {} eine \definitionsverweis {quadratische Form}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{} mit der Eigenschaft, dass die Werte von $M$ unter $Q$ zu $R$ gehören. Zeige, dass die Einschränkung von $Q$ auf $M$ eine quadratische Form über $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {Q} {L} {R } {} eine \definitionsverweis {quadratische Form}{}{} auf dem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $L$, es sei $M$ ein weiterer $R$-Modul und es sei \maabbdisp {\varphi} {M} {L } {} ein $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass
\mathl{Q \circ \varphi}{} eine quadratische Form auf $M$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und es seien \mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak b}} {} \definitionsverweis {äquivalente}{}{} Ideale aus $R$. Zeige, dass dann die zugehörigen \definitionsverweis {vereinfachten Normen}{}{} als quadratische Formen \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} mit Diskriminante $\triangle$ und sei
\mathl{aX^2 +bXY+cY^2}{} eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{} zu dieser Diskriminante mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige wie im Beweis zu Satz 28.13, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { \sqrt{\triangle} \cdot { \left( a \Z + { \frac{ b - \sqrt{\triangle} }{ 2 } } \Z \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Ideal in $R$ ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {L = \Q[ \sqrt{D} ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die die \definitionsverweis {Norm}{}{} erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der \definitionsverweis {Konjugation}{}{} mit einer solchen Multiplikation ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Berechne die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} der \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {49 X^2 + 65 XY + 73 Y^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme, ob die \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathdisp {1547 X^2 + 4199 XY + 1003 Y^2} { }
einfach ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass man mit der \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {2x^2 +2xy +3y^2} { }
die Zahl $5$ nicht darstellen kann.

}
{} {}

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