Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 27

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige mittels Korollar 27.10, dass faktoriell ist.


Aufgabe *

Sei ein quadratischer Zahlbereich und ein Ideal in . Zeige, dass es ein Element mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale gilt:


Aufgabe

Sei ein quadratischer Zahlbereich und ein Ideal in . Zeige, dass es eine natürliche Zahl derart gibt, dass das inverse Ideal zu äquivalent ist.


Aufgabe

Zeige mit Korollar 27.9, dass der Ring der Gaußschen Zahlen faktoriell ist.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und , . Definiere eine „Divisorenklassengruppe“ für die Nenneraufnahme . Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann ist, wenn faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus

geben.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.


Aufgabe

Es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte und mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte und die Abschätzung

gilt.

Tipp: Betrachte die Produktmenge und darauf die Abbildung . Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige mittels Korollar 27.10, dass faktoriell ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige mittels Korollar 27.10, dass faktoriell ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein , , mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme faktoriell ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei quadratfrei und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ein Vielfaches von und . Zeige: ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 25.20.


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