Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei  $R=A_{13}$  der quadratische Zahlbereich zu  $D=13$.  Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ faktoriell ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und  $𝔞\ne 0$  ein Ideal in $R$. Zeige, dass es ein Element  $f\in 𝔞$  mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximalen Ideale $𝔪$ gilt:

$f\in 𝔪\text{ genau dann, wenn }𝔞\subseteq 𝔪.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und  $𝔞\ne 0$  ein Ideal in $R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl  $m\in \mathbb{N}$  derart gibt, dass das inverse Ideal ${𝔞}^{-1}$ zu ${𝔞}^m$ äquivalent ist.

Aufgabe

Zeige mit Korollar 27.10, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\ne 0$. Definiere eine „Divisorenklassengruppe“ für die Nenneraufnahme $R_f$. Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann $0$ ist, wenn $R_f$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{DKG}\left(R\right)⟶\mathrm{DKG}\left(R_f\right)$

geben.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $R=A_{-43}$  der quadratische Zahlbereich zu  $D=-43$.  Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $R=A_{-67}$  der quadratische Zahlbereich zu  $D=-67$.  Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ faktoriell ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein $f\in R$, $f\ne 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme $R_f$ faktoriell ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und  $D=2,3mod4$.  Zeige: $A_D$ ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 25.20.