Kurve/Integralabschätzung/Bezug auf Kurvenlänge/Bemerkung

Die Abschätzung aus Fakt ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise ${}g=f'$ die Ableitung einer stetig differenzierbaren Kurve

$f\colon [a,b]\longrightarrow V$

ist, so ist die rechte Seite nach Fakt gleich

${}\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt=L_{a}^{b}(f)\,,$

also die Kurvenlänge von ${}f$. Die linke Seite ist hingegen

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert =\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \,.$

Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und ${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert$ ist die Länge der direkten Strecke.