Kurve/Morphismus/Galois/Vorgeschobener Divisor/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf ${}C_{1}$, siehe Fakt. (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Fakt  (3) und Fakt mit

${}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=\varphi _{*}\varphi ^{*}(\operatorname {div} {\left(g\right)})=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$

(3). Es ist

${}N(f)=\prod _{\sigma \in G}\sigma \circ f\,.$

In der Divisorengruppe zu ${}C_{1}$ gilt

${}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}\,$

und daher ist nach (2) und (1)

${}d\cdot \operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}=d\cdot \varphi _{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$

Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage