Beweis
Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf
, siehe
Fakt.
(1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von
Fakt (3)
und
Fakt
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=\varphi _{*}\varphi ^{*}(\operatorname {div} {\left(g\right)})=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ec7fa462ebb21a6c161af8f1c8c8b987eb42a1)
(3). Es ist
-
![{\displaystyle {}N(f)=\prod _{\sigma \in G}\sigma \circ f\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82a388e44b352da726bd13479b56c45b87f79a)
In der Divisorengruppe zu
gilt
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![{\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da00265f726e3a31ec5c797620218207cf5e8ba)
und daher ist nach (2) und (1)
-
![{\displaystyle {}d\cdot \operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}=d\cdot \varphi _{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98a4c7423e80b172cf1456b0eb871bceaa96ec9)
Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.