Das Kurven- , Linien- , Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie ) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis ).
Den Weg , die Linie oder die Kurve , über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg .
Wegintegrale über geschlossene KurvenRingintegral , Umlaufintegral [ 1] Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol
∮
{\displaystyle \textstyle \oint }
Gegeben ist ein Weg
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
γ
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle \gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld Das Wegintegral einer stetigen Funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
∫
γ
f
d
s
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
‖
γ
′
(
t
)
‖
2
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\,\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t.}
Dabei bezeichnet
γ
′
{\displaystyle {\gamma \,}'}
γ
{\displaystyle \gamma }
t
{\displaystyle t}
γ
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle \gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}}
γ
′
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}}
γ
′
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}}
γ
=
(
γ
1
,
…
,
γ
n
)
{\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})}
[ Bearbeiten ]
‖
γ
′
(
t
)
‖
2
{\displaystyle \|{\gamma \,}'(t)\|_{2}}
euklidische Norm des Vektors
γ
′
(
t
)
∈
R
n
{\displaystyle {\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}}
Die Bildmenge
Spur
(
γ
)
:=
C
:=
γ
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mbox{Spur}}(\gamma ):={\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])}
glatte Kurve in
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
[
a
,
b
]
×
R
n
{\displaystyle [a,b]\times \mathbb {R} ^{n}}
Ein Beispiel für eine solche Funktion
f
{\displaystyle f}
Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten .
Ein Weg
γ
{\displaystyle \gamma }
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Für
f
≡
1
{\displaystyle f\equiv 1}
γ
{\displaystyle \gamma }
Der Weg
γ
{\displaystyle \gamma }
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
b
∈
R
{\displaystyle b\in \mathbb {R} }
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
γ
{\displaystyle \gamma }
nicht für die Zeit.
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
Differential .Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld
f
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus
f
∘
γ
{\displaystyle \mathbf {f} \circ \gamma }
γ
˙
{\displaystyle {\dot {\gamma }}}
∫
γ
f
(
x
)
⋅
d
x
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\!\mathbf {f} (\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t}
Sind
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
η
:
[
c
,
d
]
→
R
n
{\displaystyle \eta \colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}
einfache (d. h.,
γ
|
(
a
,
b
)
{\displaystyle \gamma _{|(a,b)}}
η
|
(
c
,
d
)
{\displaystyle \eta _{|(c,d)}}
injektiv ) Wege mit
γ
(
a
)
=
η
(
c
)
{\displaystyle \gamma (a)=\eta (c)}
γ
(
b
)
=
η
(
d
)
{\displaystyle \gamma (b)=\eta (d)}
Bild , parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang
γ
{\displaystyle \gamma }
η
{\displaystyle \eta }
Kurvenintegral ; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden.
Da eine Kurve
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
γ
{\displaystyle \gamma }
Kurvenintegral 1. Art:
∫
C
f
d
s
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}
Kurvenintegral 2. Art:
∫
C
f
(
x
)
⋅
d
x
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\mathbf {f} (\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t}
Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch
γ
{\displaystyle \gamma }
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
L
a
¨
n
g
e
v
o
n
C
=
∫
C
d
s
=
∫
a
b
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
{\displaystyle \mathrm {L{\ddot {a}}nge\ von\ } {\mathcal {C}}=\int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}
Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck
d
s
=
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} s=\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}
heißt skalares Wegelement oder Längenelement .
Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck
d
x
=
γ
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} ={\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t}
heißt vektorielles Wegelement .
Seien
∫
γ
f
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )}
∫
γ
g
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )}
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
α
{\displaystyle \alpha }
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in \mathbb {[} a,b]}
α
∫
γ
f
(
x
)
+
β
∫
γ
g
(
x
)
=
∫
γ
(
α
f
(
x
)
+
β
g
(
x
)
)
{\displaystyle \alpha \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma }(\alpha \mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \mathbf {g} (\mathbf {x} ))}
∫
γ
f
(
x
)
=
∫
γ
|
[
a
,
c
]
f
(
x
)
+
∫
γ
|
[
c
,
b
]
f
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma |_{[a,c]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\int \limits _{\gamma |_{[c,b]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )}
[ Bearbeiten ] Ist
γ
{\displaystyle \gamma }
statt
∫
γ
{\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\gamma }}
∮
γ
{\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\gamma }}
und analog für geschlossene Kurven
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
statt
∫
C
{\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}}
∮
C
{\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\mathcal {C}}}
Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass
γ
{\displaystyle \gamma }
Ist
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Graph einer Funktion
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
,
t
↦
(
t
,
f
(
t
)
)
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))}
parametrisiert. Wegen
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
=
1
+
f
′
(
t
)
2
{\displaystyle \|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}={\sqrt {1+f'(t)^{2}}}}
ist die Länge der Kurve gleich
∫
C
d
s
=
∫
a
b
1
+
f
′
(
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}
Eine Ellipse mit großer Halbachse
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
∫
0
2
π
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
d
t
=
4
a
∫
0
π
2
1
−
ε
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}t}}\;\mathrm {d} t}
Dabei bezeichnet
ε
{\displaystyle \varepsilon }
numerische Exzentrizität
1
−
b
2
/
a
2
{\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}
elliptisches Integral bezeichnet. Ist ein Vektorfeld
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
Gradientenfeld
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
Gradient eines skalaren Feldes
V
{\displaystyle V}
∇
V
=
F
{\displaystyle \mathbf {\nabla } V=\mathbf {F} }
so gilt für die Ableitung der Verkettung von
V
{\displaystyle V}
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
d
d
t
V
(
r
(
t
)
)
=
∇
V
(
r
(
t
)
)
⋅
r
˙
(
t
)
=
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
˙
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))=\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)}
was gerade dem Integranden des Wegintegrals über
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
∫
S
F
(
x
)
⋅
d
x
=
∫
a
b
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
˙
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
d
t
V
(
r
(
t
)
)
d
t
=
V
(
r
(
b
)
)
−
V
(
r
(
a
)
)
.
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))\,\mathrm {d} t=V(\mathbf {r} (b))-V(\mathbf {r} (a)).}
Zwei beliebige Kurven
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}1}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}2}
Dies bedeutet, dass das Integral von
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
r
(
b
)
{\displaystyle \mathbf {r} (b)}
r
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {r} (a)}
Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
∮
S
F
(
x
)
d
x
=
∫
1
,
S
1
2
F
(
x
)
d
x
+
∫
2
,
S
2
1
F
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \oint \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{1,{\mathcal {S}}_{1}}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} +\int \limits _{2,{\mathcal {S}}_{2}}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =0}
Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld
V
{\displaystyle V}
Potential oder die potentielle Energie . Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.
Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.
Die Kurve
γ
{\displaystyle \gamma }
z
0
{\displaystyle z_{0}}
Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
Algebraische Topologie: Methodik ).
Ersetzt man
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Funktionentheorie behandelt werden.
Harro Heuser : Lehrbuch der Analysis – Teil 2 . 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0 . S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.
↑ Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1 , S. 524.
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![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3949e127cdd1af020b06369df1a0b89d588f0fdf)
![{\displaystyle t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
![{\displaystyle {\mbox{Spur}}(\gamma ):={\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052398cd6855a0c1cb332086ae640e74b6003242)
![{\displaystyle [a,b]\times \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2a745197157008fd3213a9d37ea07f8e93d745)
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![{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma |_{[a,c]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\int \limits _{\gamma |_{[c,b]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740d3fb15ff4ed350b3669107d382f361128be1d)
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