Kurvenintegral
Einleitung
[Bearbeiten]Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).
Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg.
Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral[1] oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol geschrieben.
Reelle Wegintegrale
[Bearbeiten]Gegeben ist ein Weg , der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum abbildet. gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert befindet.
Dabei unterscheidet man
- Wegintegral erster Art und
- Wegintegral zweiter Art.
Wegintegral erster Art
[Bearbeiten]Das Wegintegral einer stetigen Funktion
entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges ist definiert als
Ableitung des Weges
[Bearbeiten]Dabei bezeichnet den Ableitung von nach . Dabei ist und ein Vektor. Der Ableitungsvektor gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von an.
Bemerkung - Komponentenfunktionen
[Bearbeiten]Die Komponentenfunktionen sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann.
Beispiel für einen Weg und dessen Ableitung
[Bearbeiten]Als differnzierbaren Weg wird zuerst definiert mit
Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3.
Ableitung des Weges im zweidimensionalen Raum
[Bearbeiten]Die Ableitung des Weges ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen
Beispiel - Ableitung des Weges im dreidimensionalen Raum
[Bearbeiten]Nun sei und ein Vektor. Der Ableitungsvektor gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von an.
Aufgabe
[Bearbeiten]Zeichnen Sie die Spur des Weges im (Ellipse) und plotten Sie die Spur des Weges im mit CAS4Wiki-Plots.
Vektorlänge des Ableitungsvektors des Weges
[Bearbeiten]gibt die euklidische Norm des Vektors an.
Bildmenge des Weges - Spur
[Bearbeiten]Die Bildmenge einer stückweise glatte Kurve in darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve verwechseln, der eine Teilmenge vom ist.
Anmerkungen
[Bearbeiten]- Ein Beispiel für eine solche Funktion ist ein Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten.
- Ein Weg kann eine Kurve entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen.
- Für ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges .
- Der Weg bildet u. a. auf den Anfangspunkt der Kurve ab und auf deren Endpunkt.
- ist ein Element der Definitionsmenge von und steht allgemein nicht für die Zeit. ist das zugehörige Differential.
Wegintegral zweiter Art
[Bearbeiten]Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld
mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus und :
Einfluss der Parametrisierung
[Bearbeiten]Sind und einfache (d. h., und sind injektiv) Wege mit und und demselben Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang und überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden.
Kurvenintegrale
[Bearbeiten]Da eine Kurve das Bild eines Weges ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen.
Kurvenintegral 1. Art
[Bearbeiten]Kurvenintegral 2. Art
[Bearbeiten]Länge einer Kurve
[Bearbeiten]Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch parametrisierten Kurve :
Wegelement und Längenelement
[Bearbeiten]Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck
heißt skalares Wegelement oder Längenelement. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck
heißt vektorielles Wegelement.
Rechenregeln
[Bearbeiten]Seien , Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen und von gleicher Dimension und sei . Dann gelten für , und die folgenden Rechenregeln:
- (Linearität)
- (Zerlegungsadditivität)
Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven
[Bearbeiten]Ist ein geschlossener Weg, so schreibt man
- statt auch
und analog für geschlossene Kurven
- statt auch .
Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.
Beispiele
[Bearbeiten]- Ist der Graph einer Funktion , so wird diese Kurve durch den Weg
- parametrisiert. Wegen
- ist die Länge der Kurve gleich
- Eine Ellipse mit großer Halbachse und kleiner Halbachse wird durch für parametrisiert. Ihr Umfang ist also
- .
- Dabei bezeichnet die numerische Exzentrizität der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.
Wegunabhängigkeit
[Bearbeiten]Ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld, d. h., ist der Gradient eines skalaren Feldes , mit
- ,
so gilt für die Ableitung der Verkettung von und
- ,
was gerade dem Integranden des Wegintegrals über auf entspricht.
Abhängigkeit von Integralgrenzen 1
[Bearbeiten]Daraus folgt für eine gegebene Kurve
Abhängigkeit von Integralgrenzen 2
[Bearbeiten]Dies bedeutet, dass das Integral von über ausschließlich von den Punkten und abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet.
Bemerkung - geschlossene Wege - Ringintegral
[Bearbeiten]Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve mit zwei beliebigen Wegen und :
Anwendung in der Physik
[Bearbeiten]Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet.
Skalare Felder - Potentielle Energie
[Bearbeiten]Das skalare Feld ist dabei das Potential oder die potentielle Energie. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.
Umlaufzahl - Windungszahl
[Bearbeiten]Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.
Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe Algebraische Topologie: Methodik).
Bemerkung - Komplexe Wegintegrale
[Bearbeiten]Ersetzt man durch behandelt man komplexe Wegintegrale, die in der Funktionentheorie behandelt werden.
Literatur
[Bearbeiten]- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.
Einzelnachweise
[Bearbeiten]- ↑ Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.
Siehe auch
[Bearbeiten]Seiteninformation
[Bearbeiten]Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Wiki2Reveal
[Bearbeiten]Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
Wikipedia2Wikiversity
[Bearbeiten]Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:
- Kurvenintegral https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral
- Datum: 20.10.2024
- Wikipedia2Wikiversity-Konverter: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity
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