Laurent-Reihe/Geometrische Reihe zu z durch 2/Umgekehrt/Beispiel

Wir betrachten die Potenzreihe

${}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}z^{n}\,,$

die für  ${}\vert {z}\vert <2$  nach Fakt konvergiert. Nach Fakt konvergiert daher die Laurent-Reihe

${}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2z}}\right)}^{n}=\sum _{m\in \mathbb {Z} _{\leq 0}}{\left(2z\right)}^{m}=\sum _{m\in \mathbb {Z} _{\leq 0}}2^{m}z^{m}\,$

für  ${}\vert {z}\vert >{\frac {1}{2}}$.  Die Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ konvergiert also auf dem Kreisring ${}U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$.