Laurent-Reihe

Einleitung

Die Laurent-Reihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in ${\textstyle x}$ mit Entwicklungspunkt ${\textstyle a}$ diese Gestalt:

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

${\textstyle a_{n}}$ Koeffizienten
${\textstyle z_{0}}$ Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe

Hauptteil und Nebenteil

Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil oder den regulären Teil.

Zusammenhang Potenzreihen

Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom.

Geschichte

Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker Pierre Alphonse Laurent vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers Karl Weierstraß deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte.

Laurent-Zerlegung

Das Prinzip der Entwicklung einer holomorphen Funktion in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet ${\mathcal {R}}=\{z\in \mathbb {C} \;|\;r<|z|<R\}$ . Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen $g$ und $h$ :

g\colon U_{R}(0)\rightarrow \mathbb {C}

h\colon U_{\frac {1}{r}}(0)\rightarrow \mathbb {C}

.

Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen

Man definiert nun Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ über einen beliebigen Entwicklungspunkt $z_{0}\in G$ . Bezogen auf die Menge

G_{o}:=\{z-z_{o}\in \mathbb {C} \ |\ z\in G\}

wählt man zwei holomorphe Funktionen $g:G_{o}\rightarrow \mathbb {C}$ und $h:G_{o}\rightarrow \mathbb {C}$ zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus $G_{o}$ in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen $z_{0}\in G$ liegt insbesondere $0=z_{0}-z_{0}\in G_{o}$ . Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt $0$ seien mit den Konvergenzradien $R_{g},R_{h}>0$ wie folgt definiert:

g(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\quad \quad h(z):=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\cdot z^{n}\quad

Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte

Mit den holomorphen Funktion $g:G_{o}\rightarrow \mathbb {C}$ und $h:G_{o}\rightarrow \mathbb {C}$ kann für $f$ die Darstellung in dem Entwicklungspunkt $z_{0}\in G$ ausdrücken:

g(z-z_{0}):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\quad \quad h(z-z_{0}):=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\quad

Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion ${\widehat {h}}:G_{o}\rightarrow \mathbb {C}$ , die wie folgt definiert ist:

{\widehat {h}}(z):=h(1/z)

Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe

Für die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt $z_{0}\in G$ und bezogen auf die Menge

G_{o}:=\{z-z_{o}\in \mathbb {C} \ |\ z\in G\}

die Taylorentwicklungen in $z_{0}$ bzgl. $g$ und $h$ als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von $f$ erfolgt dann lokal auf Kreisringe über

f(z):=g(z-z_{o})+{\widehat {h}}(z-z_{o})=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}

Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe

Mit den holomorphen Funktionen $g$ und $h$ auf $G_{o}:=\{z-z_{o}\in \mathbb {C} \ |\ z\in G\}$ ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante $c_{0}\in \mathbb {C}$ in der Laurent-Reihe für $f$ auf die beiden Taylorentwicklungen für $g$ und $h$ mit $c_{0}=a_{0}+b_{0}$ verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil ${\widehat {h}}(z-z_{0})=h{\big (}(z-z_{0})^{-1}{\big )}$ die Konstante $b_{0}=0$ festlegt, wird die Darstellung mit dem Identitätssatz für $h$ eindeutig und man definiert:

g(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\quad \quad h(z):=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\cdot z^{n}\quad

Konvergenzmenge der Laurentreihe

Die Funktionen $g$ und $h$ lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in $G_{o}:=\{z-z_{o}\in \mathbb {C} \ |\ z\in G\}$ darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert ${\hat {h}}$ mit ${\hat {h}}(z):=h(1/z)$ auf dem Komplement einer Kreisschreibe.

Schnittmenge von Konvergenzbereichen

Wenn bei $f(z)$ der Nebenteil $g(z)$ und die Reihenentwicklung von ${\widehat {h}}(z)$ für ein bestimmtes $z$ konvergent sind, so muss $z$ im Schnitt der Konvergenzmenge von $g$ und $h$ liegen. Dabei ist $R:=R_{g}$ und $r={\tfrac {1}{R_{h}}}$ und in dem Fall $r>R$ ist die Konvergenzmenge leer, da $z$ zugleich die Eigenschaft $|z|>r$ und $|z|<R$ erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren.

Aufgabe - Konvergenzradien

Seien $R_{g}>0$ und $R_{h}>0$ die Konvergenzradien für die Funktionen $g$ und $h$ , wobei $a_{n}=\left({\tfrac {8}{3}}\right)^{n}$ für $n\geq 0$ und $b_{n}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n}$ für $n\leq -1$ gilt. Berechnen Sie den Radius $R_{\widehat {h}}>0$ der Konvergenzmenge von ${\widehat {h}}(z):=h(1/z)$ für den alle $z\in G_{o}$ mit $|z|>R_{\widehat {h}}>0$ konvergieren.

Geometrie der Konvergenzmenge

$h$ ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius $1/r$ . Da das Argument der Funktion $h$ innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion $h(1/z)$ für Werte $|z|>r$ definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen

f(z)=g(z)+h\left({\frac {1}{z}}\right)

auf dem Kreisring ${\mathcal {R}}$ analytisch.

Eindeutigkeit der Zerlegung

Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch $h(0)=0$ voraus, so ist die Zerlegung eindeutig.

Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung:

f(z)=g(z)+h\left({\frac {1}{z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\underbrace {z^{-n}} _{=\left({\frac {1}{z}}\right)^{n}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n}

.

Dabei wurde $b_{n}\equiv a_{-n}$ definiert. Außerdem folgt $b_{0}=0$ aus der Bedingung $h(0)=0$ .

Zerlegung mit Entwicklungspunkt

Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt $c$ , und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion $f$ um den Entwicklungspunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$ :

f(z)=g(z-z_{0})+h\left({\frac {1}{z-z_{0}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

Beispiele

Die folgenden Beispiele behandeln folgende Aspekte:

Laurent-Reihe über Exponentialfunktion mit wesentlicher Singularität,
Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen konstruieren,
Pole k-ter Ordnung und punktierte Umgebungen

Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion

Im Folgenden bezeichnet ${\textstyle \mathbb {K} }$ wahlweise die reellen oder komplexen Zahlen.

f\colon \mathbb {K} \to \mathbb {K} \colon x\mapsto {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right),&x\neq 0\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}

.

Die Funktion ist unendlich oft reell differenzierbar, sie ist jedoch an der Stelle $x=0$ nicht komplex differenzierbar und hat dort sogar eine wesentliche Singularität.

Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen

Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der Funktionentheorie, vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit isolierten Singularitäten. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert.

Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring

Für die geometrische Reihe erhält man mit $q\in \mathbb {C}$ die Konvergenz für $|q|<1$ und dem Grenzwert:

\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}

Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten

Man definiert für $0\leq r<R\leq \infty$ die Koeffizienten wie folgt:

$a_{n}:={\tfrac {1}{R^{n}}}$ für $n\geq 0$
$a_{n}:=r^{n}$ für $n<0$

Definition der Laurent-Reihe

Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}

Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren.

Konvergenzbereiche - Nebenteil

Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten $a_{n}:={\tfrac {1}{R^{n}}}$ :

\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\tfrac {1}{R^{n}}} _{=a_{n}}\cdot (z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigg (}\underbrace {\tfrac {z-z_{0}}{R}} _{=q}{\bigg )}^{n},

wobei die Reihe konvergiert, wenn $|q|=\left|{\tfrac {z-z_{0}}{R}}\right|<1$ bzw. $\left|z-z_{0}\right|<R$ gilt.

Konvergenzbereiche - Hauptteil

Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten $a_{n}:=r^{-n}$ , wobei mit negativem $n$ der Exponent $-n$ positiv ist:

\sum _{n=-\infty }^{-1}\underbrace {r^{-n}} _{=a_{n}}\cdot (z-z_{0})^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigg (}\underbrace {\tfrac {r}{z-z_{0}}} _{=q}{\bigg )}^{n},

wobei die Reihe konvergiert, wenn $|q|=\left|{\tfrac {r}{z-z_{0}}}\right|<1$ bzw. $\left|z-z_{0}\right|>r$ gilt.

Beispiel 3 - Pol k-ter Ordnung

Liegt ein Pol $k$ -ter Ordnung vor, ist $r=0$ , denn der Hauptteil hat dann die folgende Form:

\sum _{n=-k}^{-1}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}

konvergiert dann für alle $z\not =z_{0}$ . Damit ist dann bei Polen $r=0$ .

Kreisringe und Kreisscheibe

Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem Kreisring holomorph sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer Kreisscheibe holomorph sind.

Sei

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

eine Laurent-Reihe in $z$ mit komplexen Koeffizienten $a_{n}$ und Entwicklungspunkt $z_{0}\in \mathbb {C}$ .

Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring

Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien $r$ und $R$ , so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring $K_{(r,R)}:=\{z:r<\vert z-z_{0}\vert <R\}$ normal, also insbesondere absolut und lokal gleichmäßig konvergiert.

Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz

Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil absolut und lokal gleichmäßig konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge von $K_{(r,R)}$ , also insbesondere auf den Bildern von Kurven in $K_{(r,R)}$ und auch abgeschlossenen Kreisringen

{\overline {K_{({\widetilde {r\,}},{\widetilde {R}})}}}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,r<{\widetilde {r\,}}\leq |z-z_{0}|\leq {\widetilde {R}}<R\}.

Die Laurent-Reihe definiert auf $K_{(r,R)}$ eine holomorphe Funktion $f$ .

Außerhalb vom Kreisring

Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von $K_{(r,R)}$ mit

\mathbb {C} \setminus {\overline {K_{(r,R)}}}:=\{z\in \mathbb {C} \,\,:r<\vert z-z_{0}\vert \vee \vert z-z_{0}\vert >R\}

,

die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem $z\in \mathbb {C} \setminus {\overline {K_{(r,R)}}}$ .

Rand von Kreisringen

Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die $f$ nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Es ist möglich, dass $r=0$ und $R=\infty$ ist, es kann aber auch sein, dass $r=R$ ist.

Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard

Die beiden Radien können wie folgt mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

r=\limsup _{n\to \infty }\vert a_{-n}\vert ^{1/n}

R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }\vert a_{n}\vert ^{1/n}}}

Man setzt ${\frac {1}{0}}=\infty$ und ${\frac {1}{\infty }}=0$ in der zweiten Formel.

Auf Kreisringen definierte Funktionen

Umgekehrt kann man mit einem Kreisring $K_{(r,R)}:=\{z:r<\vert z-z_{0}\vert <R\}$ und einer auf $K_{(r,R)}$ holomorphen Funktion $f$ beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt $z_{0}$ , die (mindestens) auf $K_{(r,R)}$ konvergiert und dort mit $f$ übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt

a_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{\varrho }(z_{0})}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z_{0}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta

für alle $n\in \mathbb {Z}$ und ein $\varrho \in (r,R)$ . Wegen des Integralsatzes von Cauchy kommt es auf die Auswahl von $\varrho$ nicht an.

Gelochte Kreisscheibe

Der Fall $r=0$ , also der einer holomorphen Funktion $f$ auf einer gelochten Kreisscheibe um $c$ , ist besonders wichtig. Der Koeffizient $a_{-1}$ der Laurentreihenentwicklung von $f$ heißt Residuum von $f$ in der isolierten Singularität $c$ , er spielt eine große Rolle im Residuensatz.

Formale Laurent-Reihen

Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten ${\textstyle X}$ , die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden.

Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen

Die Koeffizienten ${\textstyle a_{k}}$ können dann aus einem beliebigen kommutativen Ring stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten endlichen Hauptteil, und die Entwicklungsstelle mit ${\textstyle z_{0}=0}$ wegzulassen.

Gleichheit von formalen Laurent-Reihen

Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch Faltung ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring ${\textstyle R}$ zu einem kommutativen Ring, der mit ${\textstyle R\left(\!\left(X\right)\!\right)}$ bezeichnet wird.

Laurent-Reihen und Itegritätsringe

Ist $K$ ein Körper, dann bilden die formalen Potenzreihen in der Unbestimmten ${\textstyle X}$ über ${\textstyle K}$ einen Integritätsring, der mit $K\left[\!\left[X\right]\!\right]$ bezeichnet wird. Sein Quotientenkörper ist isomorph zum Körper ${\textstyle K\left(\!\left(X\right)\!\right)}$ der Laurent-Reihen über ${\textstyle K}$ .

Aufgaben

Sei $K_{r_{1},r_{2}}:=\{z\in \mathbb {C} \,|\,r_{1}<|z|<r_{2}\}$ . Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf $\mathbb {C} \setminus {\overline {K_{r_{1},r_{2}}}}$ nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit $\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}$ konvergiert für $q\in \mathbb {C}$ für $|q|<1$ .

Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen

Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem $b$ -adischen Zahlensystem (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil)
Stellen Sie die Zahl ${\frac {1}{7}}$ als Funktionswert einer Laurent-Reihe im 4er-Zahlensystem $x=4$ dar, wobei $c_{n}\in \{0,1,2,3\}$ gilt und berechnen Sie die Koeffizienten $c_{n}$ !