Beweis
Es sei
fixiert und es sei
eine
-integrierbare Funktion,
die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach
Fakt
gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen
,
die punktweise gegen
konvergieren. Wegen
und der
-Integrierbarkeit von
sind auch die
-integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu
einen endlichen Träger haben. Wegen
-
![{\displaystyle {}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}\leq f^{p}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717520b55ebecca659ea1fd7007ee62c6edac00f)
können wir
Fakt
auf die Funktionenfolge
, die ja gegen
konvergiert, anwenden,
und erhalten, dass
-
![{\displaystyle {}\Vert {f-e_{n}}\Vert _{p}=\int _{X}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}d\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0616fc011cd72f032344923256b2526d3c8f0ac8)
für
gegen
konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von
gegen
in
.