Lebesgueraum/Einfache Funktionen/Endlicher Träger/Dichtheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}p$ fixiert und es sei ${}f$ eine ${}p$-integrierbare Funktion, die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach Fakt gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen ${}e_{n}\geq 0$, die punktweise gegen ${}f$ konvergieren. Wegen ${}e_{n}\leq f$ und der ${}p$-Integrierbarkeit von ${}f$ sind auch die ${}e_{n}$ ${}p$-integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu ${}e_{n}$ einen endlichen Träger haben. Wegen

${}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}\leq f^{p}\,$

können wir Fakt auf die Funktionenfolge ${}(f-e_{n})^{p}$, die ja gegen ${}0$ konvergiert, anwenden, und erhalten, dass

${}\Vert {f-e_{n}}\Vert _{p}=\int _{X}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}d\mu \,$

für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}0$ konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von ${}e_{n}$ gegen ${}f$ in ${}L^{p}(X)$.

Zur bewiesenen Aussage