Lebesgueraum/Einfache Funktionen/Endlicher Träger/Dichtheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $p$ fixiert und es sei $f$ eine $p$-integrierbare Funktion, die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach Fakt gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen  $e_n\ge 0$,  die punktweise gegen $f$ konvergieren. Wegen  $e_n\le f$  und der $p$-Integrierbarkeit von $f$ sind auch die $e_n$ $p$-integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu $e_n$ einen endlichen Träger haben. Wegen

${(f-e_n)}^p\le f^p$

können wir Fakt auf die Funktionenfolge $(f-e_n{)}^p$, die ja gegen $0$ konvergiert, anwenden, und erhalten, dass

$\Vert f-e_n{\Vert }_p={\int }_X{(f-e_n)}^{p}d\mu$

für $n\to \mathrm{\infty }$ gegen $0$ konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von $e_n$ gegen $f$ in $L^p(X)$.

Zur bewiesenen Aussage