Lemma von Riesz

Lemma von Riesz

Gegeben seien ein normierter Raum $(X,\|\cdot \|)$, ein abgeschlossener echter Unterraum $U$ von $X$ und eine reelle Zahl $0<\delta <1$. Dann existiert ein normiertes Element $y_{\delta }\in X$ ($\|y_{\delta }\|=1$, so dass gilt :

$\|y_{\delta }-u\|\geq \delta$ für alle $u\in U$.

Bemerkung - Infimum

Mit der obigen Aussage im Lemma gilt auch die Ungleichung für das folgende Infimum:

$\ \inf _{u\in U}\|y_{\delta }-u\|\geq \delta$.

Das Lemma wird später für im Kurs für den Kompaktheitssatz von Riesz verwendet.

Bemerkung - Konvergente Teilfolgen

In endlich dimensionalen normierten Räumen sind abgeschlossenen und beschränkte Mengen kompakt und Folgen in abgeschlossenen und beschränkten Mengen besitzen konvergente Teilfolgen. Im unendlichdimensionalen Vektorräumen gilt das nicht mehr. Denn dort kann man mit dem Lemma von Riesz ein Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel des normierten Raumes konstruieren, die keine konvergente Teilfolgen besitzt.

Beweis

Der Beweis gliedert sich in die folgenden zwei Teilschritte:

• (1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum mit der Definition von $y_{\delta }$
• (2) Abschätzungen in einer Ungleichungskette

(1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum

Da $U$ ein echter Untervektorraum von $X$ ist, dann gibt es einen Punkt z außerhalb der echten Teilmenge U mit

$d:=\inf _{u\in U}\|z-u\|>0\ .$

(2) Abstands von Elementen zum Untervektorraum

Der Abstand $d$ zu $U$ muss positiv sein, da U nach Voraussetzung abgeschlossen ist. Sei ein $0<\delta <1$ vorgegeben. Da d als Infimum definiert ist, gibt es ein $u_{0}\in U$ mit

$d\leq \|z-u_{0}\|\leq {\frac {d}{\delta }}\qquad (\ast )$

Man definiert nun $y_{\delta }$ wie folgt:

$y_{\delta }:={\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}$ mit $\|y_{\delta }\|=1$.

(3) Ungleichungskette

Damit ergibt sich folgende Ungleichung:

${\begin{array}{rcl}\|y_{\delta }-u\|&=&\left\|{\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}-u\right\|=\left\|{\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}-{\frac {\|z-u_{0}\|}{\|z-u_{0}\|}}\cdot u\right\|\\&=&{\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot \|z-\underbrace {u_{0}-\|z-u_{0}\|\cdot u} _{\in U}\|\\&\geq &{\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot \inf _{u\in U}\|z-u\|={\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot d\underbrace {\geq } _{(\ast )}{\frac {\delta }{d}}\cdot d=\delta \\\end{array}}$ q.e.d.

Siehe auch

• Kompaktheitssatz von Riesz

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