Lemma von Goursat/Quadratversion/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $L$ die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich $4L$, und das ist auch die Länge des Intervalls $I$. Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten $Q_n$ mit  $Q_0=Q$  als Startquadrat. Dabei zerlegt man $Q_n$ durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird $Q_{n+1}$ in folgender Weise ausgewählt: Es sei ${\gamma }_n$ der gleichmäßige (stückweise lineare) Weg entlang des Randes von $Q_n$, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien ${\gamma }_{n+1,1},{\gamma }_{n+1,2},{\gamma }_{n+1,3},{\gamma }_{n+1,4}$ die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt

${\int }_{{\gamma }_n}fdz={\int }_{{\gamma }_{n+1,1}}fdz+{\int }_{{\gamma }_{n+1,2}}fdz+{\int }_{{\gamma }_{n+1,3}}fdz+{\int }_{{\gamma }_{n+1,4}}fdz,$

da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun $Q_{n+1}$ als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von ${\int }_{{\gamma }_{n+1,i}}fdz$ unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt

$|{\int }_{{\gamma }_n}fdz|\le 4\cdot |{\int }_{{\gamma }_{n+1}}fdz|,$

und induktiv erhält man die Abschätzung

$|{\int }_{\gamma }fdz|\le 4^n\cdot |{\int }_{{\gamma }_n}fdz|.$

Es sei nun $a$ der durch die Folge der Quadrate $Q_n$ bestimmte Punkt der Ebene (die Folge der $x$-Seiten und der $y$-Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach Fakt einen eindeutigen Punkt fest). Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in $a$ gibt es nach Fakt ein  $s\in ℂ$  und eine Funktion

$r:U⟶ℂ$

mit $r$ stetig in $a$ und  $r(a)=0$  und mit

$f(z)=f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a).$

Wir möchten

${\int }_{\gamma }fdz=0$

zeigen. Dazu zeigen wir, dass

$|{\int }_{\gamma }fdz|\le ϵ$

für jedes vorgegebene positive $ϵ$ ist. Es sei also ein  $ϵ\in {ℝ}_{+}$  vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von $r$ gibt es ein  $\delta >0$  mit der Eigenschaft, dass für $z$ mit  $|z-a|\le \delta$  die Abschätzung  $|r(z)|\le \frac{ϵ}{8L^2}$  gilt.

Es sei $n$ derart, dass

$\frac{1}{2^n}\le \frac{\delta }{2L}$

gilt. Das Quadrat $Q_n$ hat die Seitenlänge $\frac{L}{2^n}$ und den Umfang $\frac{4L}{2^n}$, und es ist

$Q_n\subseteq U(a,\frac{2L}{2^n})\subseteq U(a,\delta ).$

Daher ist auf alle Punkte $z$ aus $Q_n$ und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für $r(z)$ anwendbar. Daher ist (die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden $f(a)$ und $s(z-a)$ sind nach Fakt gleich $0$, da sie eine Stammfunktion besitzen)

$\begin{array}{cc}|{\int }_{{\gamma }_n}f(z)dz|& =|{\int }_{{\gamma }_n}f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)dz|\\ & =|{\int }_{{\gamma }_n}r(z)(z-a)dz|\\ & =|{\int }_{I_n}r({\gamma }_n(t))({\gamma }_n(t)-a)\gamma {\text{'}}_n(t)dt|\\ & \le {\int }_{I_n}|r({\gamma }_n(t))({\gamma }_n(t)-a)\gamma {\text{'}}_n(t)|dt\\ & \le {\int }_{I_n}\frac{ϵ}{8L^2}\cdot \frac{2L}{2^n}dt\\ & =\frac{4L}{2^n}\cdot \frac{ϵ}{8L^2}\cdot \frac{2L}{2^n}\\ & =\frac{ϵ}{4^n}.\end{array}$

Es folgt

$\begin{array}{cc}|{\int }_{\gamma }fdz|& \le 4^n\cdot |{\int }_{{\gamma }_n}fdz|\\ & =4^n\cdot \frac{ϵ}{4^n}\\ & =ϵ.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage