Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn $\phi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ aus Eigenvektoren. Es ist dann

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right)=⟨v_i,\text{der Eigenwert zu }{v}_i\text{ ist }\lambda ⟩.$

Daher ist

$V={\mathrm{Eig}}_{{\lambda }_1}\left(\phi \right)\oplus \cdots \oplus {\mathrm{Eig}}_{{\lambda }_k}\left(\phi \right),$

wobei die Direktheit in Fakt gezeigt wurde. Wenn umgekehrt

$V={\mathrm{Eig}}_{{\lambda }_1}\left(\phi \right)\oplus \cdots \oplus {\mathrm{Eig}}_{{\lambda }_k}\left(\phi \right)$

vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von $V$.

Zur bewiesenen Aussage