Beweis
Wenn
diagonalisierbar ist, so gibt es eine
Basis
von
aus
Eigenvektoren.
Es ist dann
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\langle v_{i},\,{\text{der Eigenwert zu }}v_{i}{\text{ ist }}\lambda \rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a258024d8c37b8576b11aecbbe9c0c424d786)
Daher ist
-
![{\displaystyle {}V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a50c7a09c7dd8146b3f714b0f30e5740131cac)
wobei die Direktheit sich aus
Fakt
ergibt. Wenn umgekehrt
-
![{\displaystyle {}V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c43b0f1bb2b73116cca8c4fc15057202a92108)
vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von
.