Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Einfache Fälle/Bemerkung

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung mit ${}V$ endlichdimensional. Die Dimensionsformel besitzt die folgenden Spezialfälle. Wenn ${}\varphi$ die Nullabbildung ist, so ist ${}\operatorname {kern} \varphi =V$ und

${}\operatorname {rang} \,\varphi =0\,.$

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ und

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Der Rang liegt stets zwischen ${}0$ und der Dimension des Ausgangsraumes ${}V$. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, so ist

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(W\right)}\,$

und

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$