Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Wir nehmen an, dass es mehr als ${}n$ Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere ${}n+1$ Eigenwerte

$a_{1},\ldots ,a_{n+1}$

und zugehörige Eigenvektoren

$v_{1},\ldots ,v_{n+1}.$

Nach Fakt sind diese linear unabhängig, das widerspricht aber dem Basisaustauschsatz.

Zur bewiesenen Aussage