Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Da $f (v_{i}) = w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

f (\sum_{i \in I} s_{i} v_{i}) = \sum_{i \in I} s_{i} f (v_{i})

erfüllt, und jeder Vektor $v \in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

f : V ⟶ W,

indem wir jeden Vektor $v \in V$ mit der gegebenen Basis als

v = \sum_{i \in I} s_{i} v_{i}

schreiben (wobei $s_{i} = 0$ für fast alle $i \in I$ ist) und

f (v) := \sum_{i \in I} s_{i} w_{i}

ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft $f (v_{i}) = w_{i}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u = \sum_{i \in I} s_{i} v_{i}$ und $v = \sum_{i \in I} t_{i} v_{i}$ gilt

\begin{matrix} f (u + v) & = f ((\sum_{i \in I} s_{i} v_{i}) + (\sum_{i \in I} t_{i} v_{i})) \\ = f (\sum_{i \in I} (s_{i} + t_{i}) v_{i}) \\ = \sum_{i \in I} (s_{i} + t_{i}) f (v_{i}) \\ = \sum_{i \in I} s_{i} f (v_{i}) + \sum_{i \in I} t_{i} f (v_{i}) \\ = f (\sum_{i \in I} s_{i} v_{i}) + f (\sum_{i \in I} t_{i} v_{i}) \\ = f (u) + f (v) . \end{matrix}

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage