Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$

indem wir jeden Vektor ${}v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als

${}v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$

schreiben und

${}\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage