Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir betrachten die Abbildungskette

$U{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}W.$

Bezüglich der Basen werde ${}\psi$ durch die ${}n\times p$-Matrix ${}B=(b_{jk})_{jk}$ und ${}\varphi$ durch die ${}m\times n$-Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}$ beschrieben. Die Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ wirkt auf einen Basisvektor ${}u_{k}$ folgendermaßen.

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \psi \right)}{\left(u_{k}\right)}&=\varphi {\left(\psi {\left(u_{k}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}w_{i}.\end{aligned}}$

Dabei sind diese Koeffizienten ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ gerade die Einträge in der Produktmatrix ${}A\circ B$.

Zur bewiesenen Aussage