Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen

$𝔲=u_1,\dots ,u_p,𝔳=v_1,\dots ,v_n\text{ und }𝔴=w_1,\dots ,w_m.$

Es seien

$\psi :U⟶V\text{ und }\phi :V⟶W$

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von $\psi ,\phi$ und der Hintereinanderschaltung $\phi \circ \psi$ die Beziehung

$M_{𝔴}^{𝔲}(\phi \circ \psi )=(M_{𝔴}^{𝔳}(\phi ))\circ (M_{𝔳}^{𝔲}(\psi )).$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen