Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Injektiv und Spalten linear unabhängig/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}\varphi$ hat die Eigenschaft

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\,,$

wobei ${}s_{ij}$ der ${}i$-te Eintrag des ${}j$-ten Spaltenvektors ist. Daher ist

${}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}\right)}w_{i}\,.$

Dies ist genau dann ${}0$, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}=0$ für alle ${}i$ ist, und dies ist äquivalent zu

${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{j}=0\,.$

Dafür gibt es ein nichttriviales (Lösungs-)Tupel ${}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn ${}\varphi$ nicht injektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage

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