Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
und betrachten die Matrix
-
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
die Einträge übereinstimmen. Es ist
Es sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir
-
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Fakt
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis übereinstimmen. Es ist
-
Dabei ist nach Definition der Koeffizient
die
-te Koordinate von
bezüglich der Basis
. Damit ist diese Summe gleich
.