Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
und betrachten die Matrix
-
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar

die Einträge übereinstimmen. Es ist

Es sei nun
eine lineare Abbildung, und betrachten wir
-
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Fakt
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis
übereinstimmen. Es ist
-

Dabei ist nach Definition der Koeffizient

die

-te Koordinate von

bezüglich der Basis

. Damit ist diese Summe gleich

.