Lineare Abbildung/Normierte Räume/Endlichdimensional/Stetigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Da das Bild der Abbildung ebenfalls ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, können wir annehmen, dass beide Räume endlichdimensional sind. Ferner können wir annehmen, dass  $V={ℝ}^n$  und  $W={ℝ}^m$  ist und nach Fakt können wir annehmen, dass beidseitig die Maximumsnorm vorliegt. Es sei $a$ der maximale Betrag der Einträge in der beschreibenden Matrix

 $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  von $\phi$ bezüglich der Standardbasen. Für  $v\in {ℝ}^n$  mit

$\Vert v{\Vert }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le 1$

ist dann

$\Vert \phi (v){\Vert }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\Vert \left(\begin{array}{c}\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{v}_j\\ ⋮\\ \sum _{j=1}^n{a}_{nj}{v}_j\end{array}\right){\Vert }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=max(|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{v}_j|,i=1,\dots ,m)\le na.$

Daher folgt die Stetigkeit aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage