Lineare Abbildung/Normierte Räume/Endlichdimensional/Stetigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Da das Bild der Abbildung ebenfalls ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, können wir annehmen, dass beide Räume endlichdimensional sind. Ferner können wir annehmen, dass ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ und ${}W=\mathbb {R} ^{m}$ ist und nach Fakt können wir annehmen, dass beidseitig die Maximumsnorm vorliegt. Es sei ${}a$ der maximale Betrag der Einträge in der beschreibenden Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}$ von ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasen. Für ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ mit

${}\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\leq 1\,$

ist dann

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert _{\rm {max}}=\Vert {\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}v_{j}\end{pmatrix}}\Vert _{\rm {max}}={\max {\left(\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}\vert ,i=1,\ldots ,m\right)}}\leq na\,.$

Daher folgt die Stetigkeit aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage