Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ mit ${}M(\varphi )$ und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit ${}\varphi (M)$. Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

und betrachten die Matrix

$M(\varphi (M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

${}{\begin{aligned}(M(\varphi (M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi (M))(e_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{k=1}^{m}a_{kj}e_{k}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

$\varphi (M(\varphi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist

${}(\varphi (M(\varphi )))(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M(\varphi )_{ij})\,e_{i}\,.$

Dabei ist nach Definition von ${}M(\varphi )$ der Koeffizient ${}(M(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis des ${}K^{m}$. Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (e_{j})$.

Zur bewiesenen Aussage