Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung mit und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit . Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix

und betrachten die Matrix

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar die Einträge übereinstimmen. Es ist


Sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist

Dabei ist nach Definition von der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des . Damit ist diese Summe gleich .

Zur bewiesenen Aussage