Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Zusammenhang zu Minimalpolynomen auf Unterraum und Restklassenraum/Fakt

Es sei ${}f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Vektorraumendomorphismus und ${}U$ ein Unterraum in ${}V$ mit ${}f(U)\subseteq U$. Des weiteren sei ${}g$ der von ${}f$ auf ${}V/U$ mittels der kanonischen Projektion ${}p$ induzierte Endomorphismus. Es soll also gelten ${}p(f(v))=g(p(v))$.

${}f$ hat genau dann einen nichttrivialen Annullator, wenn sowohl die Einschränkung ${}f{|}U$ als auch der induzierte Endomorphismus ${}g$ jeweils einen nichttrivialen Annullator haben.

Außerdem gilt in diesem Fall für die Minimalpolynome die Beziehung ${}\mu _{f}$ ist ein Vielfaches von ${}\mu _{f{|}U}$ und von ${}\mu _{g}$ und teilt das Produkt ${}\mu _{f{|}U}\cdot \mu _{g}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen