Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Sei die Lösungsmenge nicht leer und sei ein beliebig gewählter Punkt. Es sei der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von ist. Wir müssen die Mengengleichheit zeigen. Wenn ist, so bedeutet dies

für alle . Für ist dann

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist . Wenn umgekehrt eine Lösung ist, so ist

und diese Differenz erfüllt

Also ist und somit

.
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