Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension  $n={\dim }_K\left(V\right)$.  Es seien

   $u_1,\dots ,u_k$

   linear unabhängige Vektoren in $V$. Dann gibt es Vektoren

   $u_{k+1},\dots ,u_n$

   derart, dass

   $u_1,\dots ,u_k,u_{k+1},\dots ,u_n$

   eine Basis

   von $V$ bilden.
2. Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien

   $\phi :U\to V\text{ und }\psi :V\to W$

   lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung

   $\psi \circ \phi :U⟶W$

   eine lineare Abbildung.

3. Sei

   $\phi :V⟶V$

   ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es eine Zerlegung

   $\phi ={\phi }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}+{\phi }_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}},$

   wobei ${\phi }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}$ diagonalisierbar, ${\phi }_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}}$ nilpotent und zusätzlich

   ${\phi }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}\circ {\phi }_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}}={\phi }_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}}\circ {\phi }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}}$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe