Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien

   $u_{1},\ldots ,u_{k}$

   linear unabhängige Vektoren in ${}V$. Dann gibt es Vektoren

   $u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

   derart, dass

   $u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

   eine Basis

   von ${}V$ bilden.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

   $\varphi :U\rightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\rightarrow W$

   lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung

   $\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung.

3. Sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein trigonalisierbarer ${}K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann gibt es eine Zerlegung

   ${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$

   wobei ${}\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, ${}\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich

   ${}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$

   gilt.