Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien

   $u_{1},\ldots ,u_{k}$

   linear unabhängige Vektoren in ${}V$. Dann gibt es Vektoren

   $u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

   derart, dass

   $u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

   eine Basis

   von ${}V$ bilden.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow W$

   mit

   $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$. Dann ist

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}.$

Zur gelösten Aufgabe