Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$-Vektorräume. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

   linear.
3. Für die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

   gilt

   ${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Zur gelösten Aufgabe