Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

   ist.

2. In einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch ${}A$ mit der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
3. Eine quadratische komplexe Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

   heißt hermitesch, wenn

   ${}a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$

   für alle ${}i,j$ gilt.

4. Ein Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt normal, wenn ${}\varphi$ und ${}{\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.

5. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).
   1. ${}x\sim x$.
   2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$.
   3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$.
6. Eine Teilmenge ${}K\subseteq L$ eines Körpers ${}L$ heißt Unterkörper von ${}L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.
   1. Es ist ${}0,1\in K$.
   2. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a+b\in K$.
   3. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a\cdot b\in K$.
   4. Mit ${}a\in K$ ist auch ${}-a\in K$.
   5. Mit ${}a\in K,a\neq 0$, ist auch ${}a^{-1}\in K$.

Zur gelösten Aufgabe