Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis

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Beweis

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Standardbasis sind

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des . Insbesondere ist

Daher ist

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.