Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt

${}V=\mathbb {R} ^{n}\,$

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix ${}M$ zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ sind

${}u_{i}=\varphi (e_{i})\,,$

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere ist

${}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Daher ist

${}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage