Beweis
Ohne Einschränkung sei gemäß
Fakt
-
![{\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fe530e25478b85feae4755e44dc9f1347eda92)
mit dem
Standardskalarprodukt.
Die Spalten in der beschreibenden Matrix
zu
bezüglich der Standardbasis
sind
-
![{\displaystyle {}u_{i}=\varphi (e_{i})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99b8a90a50b6cafcffecba7f8766d43122f96df)
und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des
. Insbesondere ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff8fc885a772a0ffc7d5fc96a4593033ae845ad)
Daher ist
-
![{\displaystyle {}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e06195c78b19b3dbabfa4ffeeffb08580caec40)
Somit folgt die Aussage aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und aus
Fakt.