Es sei G ⊆ GL n ( K ) {\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}} eine Untergruppe, die zur Operation von G {\displaystyle {}G} auf dem Polynomring K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]} führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von G {\displaystyle {}G} auf der Lokalisierung K [ X 1 , … , X n ] ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}} induziert, und dass ( K [ X 1 , … , X n ] ( X 1 , … , X n ) ) G {\displaystyle {}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}\right)}^{G}} isomorph zu ( K [ X 1 , … , X n ] G ) n {\displaystyle {}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathfrak {n}}} ist, wobei n = ( X 1 , … , X n ) ∩ K [ X 1 , … , X n ] G {\displaystyle {}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}}
eine
Untergruppe,
die zur
Operation
von 
auf dem
Polynomring
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96607693c80a38f197b1443eb366df0a6bbef1c3)
führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von auf der
Lokalisierung
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8642094ee5bcc35c62474ed16ce005b307f9abf)
induziert, und dass ![{\displaystyle {}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}\right)}^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8156a8fed8d4b950e737cab3d58879b1249d4686)
isomorph
zu ![{\displaystyle {}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a631cc53e83aaf6ebfd53e90dff12fc82e2387)
ist, wobei
![{\displaystyle {}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d282de39bdf13430b8e2f4ae6ea8bab9a41a0f34)
