Linearer Endomorphismus/Bildmaß von Borel-Lebesgue/Translationsinvariant/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}\tau _{v}$ die Translation um den Vektor ${}v\in V$. Es sei ${}w=L^{-1}(v)$. Dabei ist

${}\tau _{v}\circ L=L\circ \tau _{w}\,.$

Somit ist für eine beliebige messbare Menge ${}B\subseteq V$ aufgrund der Translationsinvarianz von ${}\lambda ^{n}$

${}{\begin{aligned}(L_{*}\lambda ^{n})(B+v)&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(\tau _{w}^{-1}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}{\left(\tau _{v}^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}(L^{-1}(B))\\&=(L_{*}\lambda ^{n})(B).\end{aligned}}$

(2) folgt aus (1) mit Fakt.

Zur bewiesenen Aussage