Linearer Endomorphismus/Bildmaß von Borel-Lebesgue/Translationsinvariant/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}\tau _{v}$ die Translation um den Vektor ${}v\in V$ . Es sei ${}w=L^{-1}(v)$ . Dabei ist

{}\tau _{v}\circ L=L\circ \tau _{w}\,.

Somit ist für eine beliebige messbare Menge ${}B\subseteq V$ aufgrund der Translationsinvarianz von ${}\lambda ^{n}$

{}{\begin{aligned}(L_{*}\lambda ^{n})(B+v)&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(\tau _{w}^{-1}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}{\left(\tau _{v}^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}(L^{-1}(B))\\&=(L_{*}\lambda ^{n})(B).\end{aligned}}

(2) folgt aus (1) mit Fakt.