Linearer Endomorphismus/Bildmaß von Borel-Lebesgue/Translationsinvariant/Fakt

Es sei ${}V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

eine bijektive lineare Abbildung. Dann gelten für das Bildmaß ${}L_{*}\lambda ^{n}$ des Borel-Lebesgue-Maßes ${}\lambda ^{n}$ unter ${}L$ folgende Eigenschaften.

1. ${}L_{*}\lambda ^{n}$ ist translationsinvariant.
2. Bei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ ist ${}L_{*}\lambda ^{n}={\frac {1}{\lambda ^{n}(P_{L})}}\cdot \lambda ^{n}$, wobei ${}P_{L}$ das von den Bildvektoren ${}L(e_{1}),\ldots ,L(e_{n})$ erzeugte Parallelotop bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen